《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

8. (2025·陕西韩城模拟)某校为了解校园安全教育活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记 5 分，“不合格”记 0 分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示.
(1)求 a，b，c 的值.
(2)用分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取 10 人进行座谈，现从这 10 人中任选 4 人，记所选 4 人的量化总分为 ξ，求 ξ 的分布列及数学期望 $E(ξ)$.
(3)某评估机构以指标 $M(M=\frac{E(ξ)}{D(ξ)}$，其中 $D(ξ)$ 表示 ξ 的方差)来评估该校安全教育活动的成效.若 $M\geq0.7$，则认定教育活动是有效的，否则认定教育活动是无效的，应调整安全教育方案，在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？

答案：
8.解:
(1)由题意可知,组距为$20$,则样本容量为$\frac{6}{0.005×20}=60$,
$\therefore b = 60×(0.01×20)=12,a = 60 - 6 - 24 - 12 = 18$.
$\because$在频率分布直方图中,各个小长方形的面积的和等于$1$,
$\therefore20×(0.005 + 0.01 + c + 0.02)=1$,解得$c = 0.015$.
(2)用分层随机抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”
的学生中随机抽取$10$人进行座谈,其中“不合格”的学生人数为$\frac{6 + 18}{60}×10 = 4$.
由题意可得$\xi = 0,5,10,15,20$,则$P(\xi = 0)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{4}}{\mathrm{C}_{10}^{4}}=\frac{1}{210}$,
$P(\xi = 5)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{3}\mathrm{C}_{4}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{4}}=\frac{4}{35},P(\xi = 10)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{C}_{6}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{4}}=\frac{3}{7},P(\xi = 15)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{1}\mathrm{C}_{6}^{3}}{\mathrm{C}_{10}^{4}}=\frac{8}{21},P(\xi = 20)=\frac{\mathrm{C}_{6}^{4}}{\mathrm{C}_{10}^{4}}=\frac{1}{14}$,
故$\xi$的分布列为

$E(\xi)=0×\frac{1}{210}+5×\frac{4}{35}+10×\frac{3}{7}+15×\frac{8}{21}+20×\frac{1}{14}=12$.
(3)$D(\xi)=(0 - 12)^{2}×\frac{1}{210}+(5 - 12)^{2}×\frac{4}{35}+(10 - 12)^{2}×\frac{3}{7}+(15 - 12)^{2}×\frac{8}{21}+(20 - 12)^{2}×\frac{1}{14}=16$.
$\therefore M=\frac{E(\xi)}{D(\xi)}=\frac{12}{16}=0.75＞0.7,\therefore$认定教育活动是有效的,故在
(2)的条件下,该校不用调整安全教育方案.

9. (2025·湖南衡阳模拟)某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线 1 米、2 米、3 米的 A，B，C 三个位置分别投篮一次(选手自行选择投篮顺序)，在 A，B，C 三个位置投篮命中分别可得 1 分、2 分、3 分，总分不低于 4 分就可以获得奖品.已知甲在 A，B，C 三处的投篮命中率分别为 $\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，且在这三处的投篮相互独立.
(1)求甲获得奖品的概率.
(2)在甲获得奖品的情况下，求甲三次投篮都命中的概率.
(3)甲参加投篮训练，训练计划如下：在 C 处先投 $n(n\in N^{*},n\leq100)$ 个球，若这 n 个球都投进，则训练结束，否则额外在 C 处投 $(200 - 3n)$ 个球.试问 n 为何值时，甲投篮次数的期望最大？
(1)①三次都中；②A，C 中或 B，C 中.
(2)条件概率；
(3)列出分布列，求甲投篮次数 X 的期望，构造函数，利用单调性求最大值.

答案：
9.解:
(1)甲三次投篮都命中的概率$P_1=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$,
甲三次投篮只命中两次且总分不低于$4$分的概率$P_2=(1 -\frac{3}{4})×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×(1 - \frac{2}{3})×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×(1 - \frac{1}{2})=\frac{5}{24}$,
所以甲获得奖品的概率$P = P_1 + P_2=\frac{11}{24}$
(2)记“甲获得奖品”为事件$A$,“甲三次投篮都命中”为事
件$B$.
在甲获得奖品的情况下,甲三次投篮都命中的概率为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{11}{24}}=\frac{6}{11}$
(3)设甲的投篮次数为$X$,则$X$的分布列为

则$E(X)=\frac{n}{2^{n}}+(200 - 2n)×(1 - \frac{1}{2^{n}})=\frac{3n - 200}{2^{n}}+200$.
令$f(n)=\frac{3n - 200}{2^{n}} - 2n + 200(n\in\mathbf{N}^*)$,
则$f(n + 1)-f(n)=\frac{203 - 3n - 2^{n + 2}}{2^{n + 1}}$.
当$n\leq5$时,$f(n + 1)＞f(n)$,当$n\geq6$时$f(n + 1)＜f(n)$,
所以$f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＜f(5)＜f(6)＞f(7)＞f(8)·s$.
故当$n = 6$时,甲投篮次数的期望最大.