《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

16. (2025·北京丰台模拟)某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：

(1)根据产品等级，按分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为$X$，求$X$的分布列及数学期望；
(2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；
(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为21元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：

从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种方案？请说明理由.

答案： 16.解：
(1)由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一
等品有6件，
所以X的可能取值为0,1,2,3.
$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}_{6}^{3}\mathrm{C}_{4}^{0}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{6}，$$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_{6}^{2}\mathrm{C}_{4}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{2}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}_{6}^{1}\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{3}{10}，$$P(X=3)=\frac{\mathrm{C}_{6}^{0}\mathrm{C}_{4}^{3}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{30}.$
则X的分布列为
X 0 1 2 3
$P \frac{1}{6} \frac{1}{2} \frac{3}{10} \frac{1}{30}$
$E(X)=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}=\frac{6}{5}.$
(2)从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四
等品的数量为Y，则$Y\sim B(3,\frac{1}{5})，$
$\thereforeP(Y=1)=\mathrm{C}_{3}^{1}×\frac{1}{5}×(\frac{4}{5})^{2}=\frac{48}{125}.$
(3)由题意得，方案二的产品的平均售价为
$24×\frac{40}{100}+22×\frac{30}{100}+18×\frac{10}{100}+16×\frac{20}{100}=21.2($元/件).
$\because21＜21.2，$
$\therefore$从采购商的角度考虑，应该选择方案一.

17. (多选题)(2025·浙江杭州模拟)甲、乙两人独立地进行3次足球射门练习，两人每次射中的概率分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，则(AC)

A.甲、乙两人射中次数的均值之和为$\frac{7}{2}$
B.甲、乙两人射中次数的方差之和为$\frac{7}{2}$
C.甲、乙两人均射中2次的概率为$\frac{1}{6}$
D.甲、乙两人共射中2次的概率为$\frac{5}{36}$

答案： 17.AC 解析：对于A，由二项分布可知，甲射中次数的均值为
$3×\frac{2}{3}=2，$乙射中次数的均值为$3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}，$故均值之和为
$2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}，$故A正确；
对于B，由二项分布可知，甲射中次数的方差为$3×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=$
$\frac{2}{3}，$乙射中次数的方差为$3×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{4}，$故方差之和为
$\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{17}{12}，$故B不正确；
对于C，甲、乙两人均射中2次的概率为$\mathrm{C}_{3}^{2}×(\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{3}×$
$\mathrm{C}_{3}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}，$故C正确；
对于D，甲、乙两人共射中2次的概率为$\mathrm{C}_{3}^{0}×(\frac{1}{3})^{3}×\mathrm{C}_{3}^{2}×$
$(\frac{1}{2})^{2}×\frac{1}{2}-\mathrm{C}_{3}^{1}×\frac{2}{3}×(\frac{1}{3})^{2}×\mathrm{C}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^{2}+\mathrm{C}_{3}^{2}×$
$(\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{3}×\mathrm{C}_{3}^{0}×(\frac{1}{2})^{3}=\frac{11}{72}，$故D不正确.

18. (2025·浙江温州模拟)新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求.在某次数学测评中，第11题(6分制多选题)得分的学生有100人，其中$\frac{3}{4}$的学生得部分分，$\frac{1}{4}$的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签.假设每个学生在第11题得分情况相互独立.
(1)从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为$X$个，求$X$的分布列和数学期望；
(2)从第11题得分的100名学生中随机抽取$n$人$(0\lt n\leqslant 100,n\in N^{*})$，记这$n$人得到书签的总数为$(n + 1)$个的概率为$P_{n}$，求$P_{1}+P_{2}+P_{3}+·s +P_{n}$的值；
(3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？

答案： 18.解：
(1)由题意得书签的总数X的所有可能取值为4,5,6,
7,8，
其中$P(X=4)=\mathrm{C}_{3}^{0}×(\frac{3}{4})^{4}=\frac{81}{256}，$
$P(X=5)=\mathrm{C}_{3}^{1}×\frac{1}{4}×(\frac{3}{4})^{3}=\frac{27}{64}，$
$P(X=6)=\mathrm{C}_{3}^{2}×(\frac{1}{4})^{2}×(\frac{3}{4})^{2}=\frac{27}{128}，$
$P(X=7)=\mathrm{C}_{3}^{3}×(\frac{1}{4})^{3}×\frac{3}{4}=\frac{3}{64}，$
$P(X=8)=\mathrm{C}_{3}^{0}×(\frac{1}{4})^{4}=\frac{1}{256}，$
所以X的分布列为
X 4 5 6 7 8
$P \frac{81}{256} \frac{27}{64} \frac{27}{128} \frac{3}{64} \frac{1}{256}$
$E(X)=4×\frac{81}{256}+5×\frac{27}{64}+6×\frac{27}{128}+7×\frac{3}{64}+8×\frac{1}{256}=5.$
(2)因为这n人得到书签的总数为(n+1)个(0＜n\leq100，
$n\in N^*)，$
所以其中只有1人得到2个书签，
所以$P_n=\mathrm{C}_{n}^{1}×\frac{1}{4}×(\frac{3}{4})^{n-1}=\frac{n}{3}·(\frac{3}{4})^{n}(0＜n\leq100，$
$n\in N^*)，$
则$P_1+P_2+P_3+·s+P_n$
$=\frac{1}{3}×[1×\frac{3}{4}-2×(\frac{3}{4})^{2}+3×(\frac{3}{4})^{3}+·s+n×(\frac{3}{4})^{n}],$
$\frac{3}{4}(P_1+P_2+P_3+·s+P_n)$
$=\frac{1}{3}×[1×(\frac{3}{4})^{2}+2×(\frac{3}{4})^{3}+3×(\frac{3}{4})^{4}+·s+(n-1)×$
$(\frac{3}{4})^{n}+n×(\frac{3}{4})^{n+1}].$
两式相减得$\frac{1}{4}(P_1+P_2+P_3+·s+P_n)$
$=\frac{1}{3}×[\frac{3}{4}+(\frac{3}{4})^{2}+(\frac{3}{4})^{3}+·s+(\frac{3}{4})^{n}-n×(\frac{3}{4})^{n+1}].$
$=\frac{1}{3}×[\frac{\frac{3}{4}×[1-(\frac{3}{4})^{n}]}{1-\frac{3}{4}}-n×(\frac{3}{4})^{n+1}].$
$=1-\frac{n+4}{3}×(\frac{3}{4})^{n+1}.$
所以$P_1+P_2+P_3+·s+P_n=4-(n+4)×(\frac{3}{4})^{n}(0＜n\leq$
$100,n\in N^*).$
(3)在这20名学生中，设得到1个书签的人数为x，则得到2
个书签的人数为(20-x)，
所以得到书签的总个数n=x+2(20-x)=40-x.
此时得到书签的总个数为n的概率为$\mathrm{C}_{20}^{x}×(\frac{3}{4})^{x}·(\frac{1}{4})^{20-x}$
$=\frac{3^{x}·\mathrm{C}_{20}^{x}}{4^{20}}，$
$\begin{cases}3^{x}·\mathrm{C}_{20}^{x}\geq3^{x+1}·\mathrm{C}_{20}^{x+1},\\3^{x}·\mathrm{C}_{20}^{x}\geq3^{x-1}·\mathrm{C}_{20}^{x-1}.\end{cases}$
整理得$\begin{cases}3^{x}·\frac{20!}{x!(20-x)!}\geq3^{x+1}·\frac{20!}{(x+1)!(19-x)!},\\3^{x}·\frac{20!}{x!(20-x)!}\geq3^{x-1}·\frac{20!}{(x-1)!(21-x)!}.\end{cases}$
解得$\frac{59}{4}\leq x\leq\frac{63}{4}，$
而$0\leq x\leq20,x\in N,$所以x=15，所以n=40-15=25，
所以若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，王老师应该
提前准备25个书签比较合理.