《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (北京卷)某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
(2)从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；
(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为 $ p_0 $。假设该校一年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $ p_1 $。试比较 $ p_0 $ 与 $ p_1 $ 的大小。(结论不要求证明)

答案：
(1)该校男生支持方案一的概率估计值为：$\frac{200}{200+400}=\frac{1}{3}$；
该校女生支持方案一的概率估计值为：$\frac{300}{300+100}=\frac{3}{4}$。
(2)3人中恰有2人支持方案一包含两种情况：
①2名男生支持且1名女生不支持：概率为$(\frac{1}{3})^2×(1-\frac{3}{4})=\frac{1}{36}$；
②1名男生支持、1名男生不支持且1名女生支持：概率为$C_2^1×\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{3})×\frac{3}{4}=2×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{3}$。
故所求概率为$\frac{1}{36}+\frac{1}{3}=\frac{13}{36}$。
(3)$p_0＞p_1$。

2. (天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16。现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查。
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查。
① 用 $ X $ 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 $ X $ 的分布列与数学期望；
② 设 $ A $ 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 $ A $ 发生的概率。

答案：
(1) 由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 $3:2:2$，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人、2 人、2 人。
(2)
① 随机变量 $X$ 的所有可能取值为 0，1，2，3。
$P(X=k)=\frac{C_4^kC_3^{3-k}}{C_7^3} \quad (k=0,1,2,3)$
随机变量 $X$ 的分布列为
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{1}{35}$ | $\frac{12}{35}$ | $\frac{18}{35}$ | $\frac{4}{35}$ |
随机变量 $X$ 的数学期望
$E(X)=0 × \frac{1}{35}+1 × \frac{12}{35}+2 × \frac{18}{35}+3 × \frac{4}{35}=\frac{12}{7}$
② 设事件 $B$ 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；
事件 $C$ 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，
则 $A=B \cup C$，且 $B$ 与 $C$ 互斥。
由①知
$P(B)=P(X=2)=\frac{18}{35}$
$P(C)=P(X=1)=\frac{12}{35}$
所以
$P(A)=P(B \cup C)=P(X=2)+P(X=1)=\frac{18}{35}+\frac{12}{35}=\frac{6}{7}$
事件 $A$ 发生的概率为 $\frac{6}{7}$。