《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例 3 - 1 (2025·广东深圳模拟)某食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒样品，并测定了其芳香度(如下表)。

由最小二乘法得到经验回归方程 $ \hat{y} = 1.03x + 1.13 $，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为(A)

A.6.1
B.6.28
C.6.5
D.6.8

答案： A

例 3 - 2 （2025·河南郑州月考）某工厂 1～8 月份某种产品的产量 $ x $ 与成本 $ y $ 的统计数据如下表：

(1) 画出散点图。
(2) 判断 $ y $ 与 $ x $ 是否具有线性相关关系。若有，求出其经验回归方程。

答案：

解：
(1) 散点图如图所示。
(2) 由图可看出，这些点基本分布在一条直线附近，可以认为 $ x $ 和 $ y $ 线性相关。设经验回归方程为 $ \hat{y} = \hat{b}x + \hat{a} $。
$ \because \overline{x} = 6.85 $， $ \overline{y} = 157.25 $，
$ \sum_{i = 1}^8 x_i y_i = 8764.5 $， $ \sum_{i = 1}^8 x_i^2 = 382.02 $，
$ \therefore \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^8 x_i y_i - 8 \overline{x} \overline{y}}{\sum_{i = 1}^8 x_i^2 - 8 \overline{x}^2} = \frac{8764.5 - 8 × 6.85 × 157.25}{382.02 - 8 × 6.85^2} \approx 22.169 $，
$ \hat{a} = \overline{y} - \hat{b} \overline{x} \approx 157.25 - 22.169 × 6.85 \approx 5.392 $。
$ \therefore $ 经验回归方程为 $ \hat{y} = 22.169x + 5.392 $。