《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

10. (2025·青海西宁月考)按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
(1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本;
(3)平均分成三份,每份 2 本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本;
(5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本;
(7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本.

答案： 10.解：
(1)无序不均匀分组问题.先选$1$本，有$C_{6}^{1}$种选法；再从余下的$5$本中选$2$本，有$C_{5}^{2}$种选法；最后余下的$3$本全选，有$C_{3}^{3}$种选法.故共有$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}=60$(种)选法.
(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在
(1)题的基础上，还应考虑再分配，共有$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}A_{3}^{3}=360$(种)分法.
(3)无序均匀分组问题.先分三份，则应是$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种分法，但是这里出现了重复.不妨记六本书为$A,B,C,D,E,F$，若第一步取了$AB$，第二步取了$CD$，第三步取了$EF$，记该种分法为$(AB,CD,EF)$，则$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种分法中还有$(AB,EF,CD)$，$(CD,AB,EF)$，$(CD,EF,AB)$，$(EF,CD,AB)$，$(EF,AB,CD)$，共有$A_{3}^{3}$种情况，而这$A_{3}^{3}$种情况仅是$AB,CD,EF$的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}=15$(种).
(4)有序均匀分组问题.在
(3)题的基础上再分配给$3$个人，共有分配方式$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}· A_{3}^{3}=90$(种).
(5)无序部分均匀分组问题.共有$\frac{C_{6}^{3}C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}=15$(种)分法.
(6)有序部分均匀分组问题.在
(5)题的基础上再分配给$3$人，共有分配方式$\frac{C_{6}^{3}C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}· A_{3}^{3}=90$(种).
(7)直接分配问题.甲选$1$本有$C_{6}^{1}$种选法，乙从余下$5$本中选$1$本有$C_{5}^{1}$种选法，余下$4$本留给丙有$C_{4}^{4}$种选法，共有$C_{6}^{1}C_{5}^{1}C_{4}^{4}=30$(种)选法.

11. (2025·山东日照一模)高考入场安检时,某学校在校门口并排设立三个检测点,进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入. 现有三男三女六位学生需要安检,则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有(B)

A.66 种
B.93 种
C.195 种
D.273 种

答案： 11.B 解析：①每个检测点均为一男一女通过，共有$A_{3}^{3}A_{3}^{3}=36$(种)不同的结果；
②三个检测点中，一个检测点通过$0$人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有$C_{3}^{1}C_{3}^{2}C_{2}^{2}C_{1}^{1}A_{3}^{3}=54$(种)不同的结果；
③六人均在同一个检测点通过，共有$C_{3}^{1}=3$(种)不同的结果.
则每个检测点通过的男生人数与女生人数相等的情况有$36 + 54 + 3 = 93$(种).

12. (2025·山东济南模拟)高二年级有 10 人参加了歌舞文艺社团,其中 3 人只会唱歌,2 人只会跳舞,其余 5 人既会唱歌又会跳舞. 现要从中选 6 人上台表演,3 人唱歌,3 人跳舞,则不同的选法种数为(A)

A.675
B.575
C.512
D.545

答案： 12.A 解析：根据题意可按照只会跳舞的$2$人中入选的人数分类处理.
第一类，只会跳舞的$2$人都不选，则从既会唱歌又会跳舞的$5$人中选择$3$人来跳舞，接着从剩余的$5$人中选择$3$人唱歌，故有$C_{5}^{3}C_{5}^{3}=100$(种)选法；
第二类，只会跳舞的$2$人有$1$人入选，有$C_{2}^{1}$种选法，再从既会唱歌又会跳舞的$5$人中选择$2$人来跳舞，有$C_{5}^{2}$种选法，再从剩余的$6$人中选择$3$人唱歌，有$C_{6}^{3}$种选法，故有$C_{2}^{1}C_{5}^{2}C_{6}^{3}=400$(种)选法；
第三类，只会跳舞的$2$人全入选，有$C_{2}^{2}$种选法，再从既会唱歌又会跳舞的$5$人中选择$1$人来跳舞，有$C_{5}^{1}$种选法，再从剩余的$7$人中选择$3$人唱歌，有$C_{7}^{3}$种选法，故有$C_{2}^{2}C_{5}^{1}C_{7}^{3}=175$(种)选法.
所以共有$100 + 400 + 175 = 675$(种)不同的选法.

13. (多选题)(2025·河南南阳模拟)某校安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,则以下说法错误的有(ABD)

A.若每人都安排一项工作,则不同的安排方法数为$5^{4}$
B.若每项工作至少有 1 人参加,则不同的安排方法数为$C_{5}^{4}C_{4}^{1}$
C.每项工作至少有 1 人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同的安排方法数是$C_{3}^{1}C_{4}^{2}A_{3}^{3}+C_{3}^{2}A_{3}^{3}$
D.若司机工作不安排,其余三项工作至少安排 1 人,则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为$(C_{5}^{3}C_{2}^{1}+C_{5}^{2}C_{3}^{2})A_{3}^{3}$

答案： 13.ABD 解析：对于A，安排$5$人参加$4$项工作，若每人都安排一项工作，每人有$4$种安排方法，则有$4^{5}$种安排方法，故A错误；
对于B，根据题意，分$2$步进行分析：先将$5$人分为$4$组，再将分好的$4$组全排列，安排$4$项工作.有$C_{5}^{2}A_{4}^{4}$种安排方法，故B错误；
对于C，根据题意，分$2$种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出$1$人开车；②从丙、丁、戊中选出$2$人开车.所以有$(C_{3}^{1}C_{2}^{2}A_{3}^{3}+C_{3}^{2}A_{2}^{2}A_{3}^{3})$种安排方法，故C正确；
对于D，分$2$步分析：需要先将$5$人分为$3$组，有$(C_{5}^{3}+\frac{C_{5}^{2}C_{3}^{2}}{A_{2}^{2}})$种分组方法，再将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有$A_{3}^{3}$种安排方法，则安排方法数为$(C_{5}^{3}+\frac{C_{5}^{2}C_{3}^{2}}{A_{2}^{2}})A_{3}^{3}$，故D错误.

14. (2025·北京西城模拟)若集合$A_{1},A_{2}$满足$A_{1}\cup A_{2}=A$,则称$(A_{1},A_{2})$为集合 A 的一个分拆,并规定:当且仅当$A_{1}=A_{2}$时,$(A_{1},A_{2})$与$(A_{2},A_{1})$为集合 A 的同一种分拆,则集合$A=\{ -1,0,2\}$的不同分拆种数是27.

答案： 14.27 解析：因为集合$A$中有三个元素，
所以当$A_{1}=\varnothing$时，$A_{2}=A$，分拆种数为$1$；
当$A_{1}$中有$1$个元素时，分拆种数为$C_{3}^{1}· 2$；
当$A_{1}$中有$2$个元素时，分拆种数为$C_{3}^{2}· 2^{2}$；
当$A_{1}=A$时，分拆种数为$C_{3}^{3}· 2^{3}$.
所以总的不同分拆种数为$1+C_{3}^{1}· 2+C_{3}^{2}· 2^{2}+C_{3}^{3}· 2^{3}=27$.

15. (2025·河北沧州检测)设有编号为 1,2,3,4,5 的五个小球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个小球放入五个盒子中.
(1)若没有一个盒子空着,且球的编号与盒子编号不全相同,则有多少种投放方法?
(2)若每个盒子内投放一球,并且至

少

有两个球的编号与盒子编号是相同的,则有多少种投放方法?

答案： 15.解：
(1)利用间接法可知满足题意的投放方法有$A_{5}^{5}-1=119$(种).
(2)分为三类：第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有$1$种；第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，其中三个球的编号与盒子的编号相同的投放方法有$C_{5}^{3}$种，剩余两个球的编号与盒子编号不同的投放方法有$1$种，所以投放方法有$C_{5}^{3}× 1 = 10$(种)；第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，其中两个球的编号与盒子的编号相同的投放方法有$C_{5}^{2}$种，剩余三个球的编号与盒子编号不同的投放方法有$2$种，所以投放方法有$C_{5}^{2}× 2 = 20$(种).根据分类加法计数原理，所有的投放方法有$1 + 10 + 20 = 31$(种).

16. (2025·陕西西安模拟)在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,各棱、各面对角线(如$A_{1}B$)、各体对角线(如$BD_{1}$)所在的直线中,互为异面直线的对数为(C)


A.12
B.58
C.174
D.378

答案： 16.C 解析：正方体共有$12$条棱，$12$条面对角线，$4$条体对角线，从这$28$条线段所在的直线中任取$2$条有$C_{28}^{2}$种方法.
另一方面，从这$28$条线段所在的直线中任取$2$条共面的情况分为以下几种：
①从$8$个顶点中的每一个顶点出发的$3$条棱、$3$条面对角线及$1$条体对角线共$7$条中任取$2$条共有$8C_{7}^{2}$种方法；
②从$3$组中的每$4$条平行的棱中任取$2$条共有$3C_{4}^{2}$种方法；
③从$4$条体对角线中任取$2$条共有$C_{4}^{2}$种方法；
④在正方体同一个面上的面对角线及相互平行的面对角线共有$6 + 2× 3 = 12$(对).
综上可知，在一个正方体中，各棱、各面对角线和各体对角线所在的直线中共有$C_{28}^{2}-8C_{7}^{2}-3C_{4}^{2}-C_{4}^{2}-12 = 174$(对)异面直线.

17. (2025·河北沧州模拟)已知集合$A = \{ a,b,c,d,e\},B = \{ 1,2,3,4\},f:A→B$为从 A 到 B 的函数,且$f(x)=1$有两个不同的实数根,则这样的函数个数为270.

答案： 17.270 解析：因为$f(x)=1$有两个不同的实数根，所以有两个元素与$1$对应，有$C_{3}^{2}=10$(种)情况；然后集合$A$中剩下的$3$个元素，每个元素对应到$2,3,4$中都有$3$种对应形式，则有$3^{3}=27$(种)，故函数个数为$10× 27 = 270$.