《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

9. (2025·湖北武汉模拟)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为 $[490,495]$，$(495,500]$，$·s$，$(510,515]$，由此得到样本的频率分布直方图如图。

(1) 根据频率分布直方图，求这 40 件产品中质量超过 505 克的产品数量；
(2) 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 $X$ 为质量超过 505 克的产品数量，求 $X$ 的分布列和均值；
(3) 从该流水线上任取 2 件产品，设 $Y$ 为质量超过 505 克的产品数量，求 $Y$ 的分布列。

答案： 解：
(1)质量超过505克的产品的频率为$5×0.05+5×0.01=0.3$，
$\therefore$质量超过505克的产品数量为$40×0.3=12$(件).
(2)质量超过505克的产品数量为12，则质量未超过505克的产品数量为28，$X$的可能取值为0,1,2,$X$服从超几何分布.
则$P(X=0)=\frac{C_{28}^{2}}{C_{40}^{2}}=\frac{63}{130}$，
$P(X=1)=\frac{C_{12}^{1}C_{28}^{1}}{C_{40}^{2}}=\frac{28}{65}$，
$P(X=2)=\frac{C_{12}^{2}}{C_{40}^{2}}=\frac{11}{130}$，
$\therefore X$的分布列为
$X$ 0 1 2
$P$ $\frac{63}{130}$ $\frac{28}{65}$ $\frac{11}{130}$
方法一：$E(X)=0×\frac{63}{130}+1×\frac{28}{65}+2×\frac{11}{130}=\frac{3}{5}$.
方法二：$E(X)=\frac{2×12}{40}=\frac{3}{5}$.
(3)根据样本估计总体的概率，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为$\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的产品数量$Y$的可能取值为0,1,2，且$Y\sim B(2,\frac{3}{10})$，
$P(Y=k)=C_{2}^{k}×(\frac{3}{10})^{k}×(1-\frac{3}{10})^{2-k},k=0,1,2$，
$\therefore P(Y=0)=C_{2}^{0}×(\frac{3}{10})^{0}=\frac{49}{100}$,$P(Y=1)=C_{2}^{1}×\frac{3}{10}×\frac{7}{10}=\frac{21}{50}$，
$P(Y=2)=C_{2}^{2}×(\frac{3}{10})^{2}=\frac{9}{100}$，
$\therefore Y$的分布列为
$Y$ 0 1 2
$P$ $\frac{49}{100}$ $\frac{21}{50}$ $\frac{9}{100}$
高中数学·选择性必修第三册(RJA)

10. (2025·辽宁鞍山模拟)某市实施汽车限购政策。根据规定，每年发放 10 万个小汽车名额，其中电动小汽车占 20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半。政策推出后，在全市有购车意向的市民中，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了抽样调查，结果如下表所示：

(1) 采取分层随机抽样的方式从 30 至 50 岁(含 50 岁)的人中抽取 10 人，求其中各种申请意向人数；
(2) 在(1)中选出的 10 人中随机抽取 4 人，求其中恰有 2 人有竞价申请意向的概率；
(3) 用样本估计总体，在全体有购车意向的市民中任意选取 4 人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为 $\xi$，求 $\xi$ 的分布列。

答案： 解：
(1)因为30至50岁(含50岁)的人中有意向参与摇号申请电动小汽车、非电动小汽车和竞价申请的人数占总体的比例分别为$\frac{50}{500}=\frac{1}{10},\frac{150}{500}=\frac{3}{10}$和$\frac{300}{500}=\frac{3}{5}$，所以抽取的10人中摇号申请电动小汽车、非电动小汽车和竞价申请的人数分别为$\frac{1}{10}×10=1(人),\frac{3}{10}×10=3(人)$和$\frac{3}{5}×10=6(人)$.
(2)由题意，可知在
(1)中选出的10人中有竞价申请意向的人数为6人，所以4人中恰有2人有竞价申请意向的概率为$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{3}{7}$.
(3)$\xi$的所有可能取值为0,1,2,3,4.易知随机变量$\xi$服从二项分布，因为用样本估计总体，任取1人，有摇号申请电动汽车意向的概率为$P=\frac{200}{1000}=\frac{1}{5}$，所以$\xi\sim B(4,\frac{1}{5})$.
$P(\xi=0)=C_{4}^{0}(\frac{1}{5})^{0}(1-\frac{1}{5})^{4}=\frac{256}{625}$，
$P(\xi=1)=C_{4}^{1}(\frac{1}{5})^{1}(1-\frac{1}{5})^{3}=\frac{256}{625}$，
$P(\xi=2)=C_{4}^{2}(\frac{1}{5})^{2}(1-\frac{1}{5})^{2}=\frac{96}{625}$，
$P(\xi=3)=C_{4}^{3}(\frac{1}{5})^{3}(1-\frac{1}{5})^{1}=\frac{16}{625}$，
$P(\xi=4)=C_{4}^{4}(\frac{1}{5})^{4}(1-\frac{1}{5})^{0}=\frac{1}{625}$，
所以$\xi$的分布列为
$\xi$ 0 1 2 3 4
$P$ $\frac{256}{625}$ $\frac{256}{625}$ $\frac{96}{625}$ $\frac{16}{625}$ $\frac{1}{625}$