《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例2 用一门大炮对某目标进行三次独立射击，第一、二、三次的命中率分别为0.4，0.5，0.7，若命中此目标一、二、三弹，该目标被摧毁的概率分别为0.2，0.6，0.8，试求目标被摧毁的概率。

答案： 设事件$A_i$表示“第$i$次命中目标”，$i = 1,2,3$，事件$B_j$表示“目标被命中$j$弹”，$j = 0,1,2,3$，事件$C$表示“目标被摧毁”。
由题意得$P(A_1)=0.4$，$P(A_2)=0.5$，$P(A_3)=0.7$，$P(C|B_0)=0$，$P(C|B_1)=0.2$，$P(C|B_2)=0.6$，$P(C|B_3)=0.8$。
三次射击相互独立，则：
$P(B_0)=P(\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3})=0.6×0.5×0.3 = 0.09$；
$P(B_1)=P(\overline{A_1}\overline{A_2}A_3+\overline{A_1}A_2\overline{A_3}+A_1\overline{A_2}\overline{A_3})=0.6×0.5×0.7 + 0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3 = 0.36$；
$P(B_2)=P(A_1A_2\overline{A_3}+A_1\overline{A_2}A_3+\overline{A_1}A_2A_3)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7 = 0.41$；
$P(B_3)=P(A_1A_2A_3)=0.4×0.5×0.7 = 0.14$。
由全概率公式得：
$P(C)=P(C|B_0)P(B_0)+P(C|B_1)P(B_1)+P(C|B_2)P(B_2)+P(C|B_3)P(B_3)$
$=0×0.09 + 0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14$
$=0.43$
所以目标被摧毁的概率为$0.43$。

例3 （2025·浙江台州模拟）某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动。为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查。假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况。调查结果如下：

(1)从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；
(2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传。假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变。经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记$X$为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求$X$的分布列及数学期望。

答案：
名师讲习 解：
(1)已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中“不了解”的人数为100，根据古典概型概率公式可得$P=\frac{m}{n}=\frac{100}{1000}=0.1$，所以从该市成年人口中随机抽取1人，其对垃圾分类知识“不了解”的概率$P = 0.1$。
(2)原来“不了解”的市民占比为0.1，“非常了解”的市民占比为$\frac{580}{1000}=0.58$，“一般了解”的市民占比为$\frac{320}{1000}=0.32$，
经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变，
所以重点宣传后“非常了解”的概率为$0.58+0.1×20\%=0.58+0.02 = 0.6$。
从该市成年人口中随机抽取3人，记$X$为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到“非常了解”的概率都为0.6，所以$X\sim B(3,0.6)$，
根据二项分布的概率公式$P(X = k)=C_{3}^{k}×0.6^{k}×(1 - 0.6)^{3 - k},k = 0,1,2,3$。
$P(X = 0)=C_{3}^{0}×0.6^{0}×(1 - 0.6)^{3 - 0}=1×1×0.4^{3}=0.064$，
$P(X = 1)=C_{3}^{1}×0.6^{1}×(1 - 0.6)^{3 - 1}=3×0.6×0.4^{2}=0.288$，
$P(X = 2)=C_{3}^{2}×0.6^{2}×(1 - 0.6)^{3 - 2}=3×0.36×0.4=0.432$，
$P(X = 3)=C_{3}^{3}×0.6^{3}=0.6^{3}=0.216$。
所以$X$的分布列为

因为$X\sim B(3,0.6)$，所以根据二项分布的数学期望公式可得$E(X)=3×0.6 = 1.8$。