《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

14. 已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,则从2号箱取出红球的概率是$\frac{11}{27}$.

答案： 14.$\frac{11}{27}$ 解析：设事件A 表示“最后从2号箱中取出的是红球”，
事件B 表示“从1号箱中取出的是红球”.
则$P(B)=\frac{4}{2 + 4} =\frac{2}{3}$，$P(\overline{B})=1 - P(B)=\frac{1}{3}$，
$P(A|B)=\frac{3 + 1}{8 + 1} =\frac{4}{9}$，$P(A|\overline{B})=\frac{3}{8 + 1} =\frac{1}{3}$，
所以$P(A)=P(AB)+P(A\overline{B})$
$=P(A|B)P(B)+P(A|\overline{B})P(\overline{B})$
$=\frac{4}{9} ×\frac{2}{3} +\frac{1}{3} ×\frac{1}{3} =\frac{11}{27}$.

15. (2025·广东佛山模拟)某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏,主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入奖品,再将四个箱子关闭,即主持人知道奖品在哪个箱子.当抽奖人选择某个箱子后,在箱子打开之前,主持人会随机打开一个没有奖品的箱子,并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.已知甲先选择了1号箱子,此时主持人打开2号箱子的概率为$\frac{1}{3}$,在主持人打开2号箱子的情况下,奖品在4号箱子的概率为$\frac{3}{8}$.

答案： 15.$\frac{1}{3} \frac{3}{8}$ 解析：用$A_i(i = 1,2,3,4)$表示$i$号箱子有奖品，
用$B_i$表示主持人打开$i$号箱子.
由题知$P(B_2|A_1)=\frac{1}{3}$，$P(B_2|A_2)=0$，$P(B_2|A_3)=\frac{1}{2}$，
$P(B_2|A_4)=\frac{1}{2}$.
又$P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=P(A_4)=\frac{1}{4}$，
所以$P(B_2)=\sum P(A_i)P(B_2|A_i)=\frac{1}{4} ×\frac{1}{3} +\frac{1}{4} ×0+$
$\frac{1}{4} ×\frac{1}{2} +\frac{1}{4} ×\frac{1}{2} =\frac{1}{3}$.
所以$P(A_4|B_2)=\frac{P(A_4B_2)}{P(B_2)} =\frac{P(A_4)P(B_2|A_4)}{P(B_2)} =\frac{\frac{1}{4} ×\frac{1}{2} }{\frac{1}{3} } =\frac{3}{8}$.

16. (2025·河北唐山模拟)设某仓库有一批产品,已知其中50%,30%,20%依次是甲、乙、丙厂生产的,且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为$\frac{1}{10}$,$\frac{1}{15}$,$\frac{1}{20}$.
(1)现从这批产品中任取一件,求取到次品的概率;
(2)若从这批产品中取出一件产品,发现是次品,求该件产品是甲厂生产的概率.

答案： 16.解：
(1)用$A_1$，$A_2$，$A_3$分别表示事件取到的这件产品是甲、
乙、丙厂生产的，用B 表示事件取到的产品为次品.
则$P(A_1)=\frac{5}{10}$，$P(A_2)=\frac{3}{10}$，$P(A_3)=\frac{2}{10}$，
$P(B|A_1)=\frac{1}{10}$，$P(B|A_2)=\frac{1}{15}$，$P(B|A_3)=\frac{1}{20}$.
由全概率公式，得
$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)·$
$P(B|A_3)$
$=\frac{5}{10} ×\frac{1}{10} +\frac{3}{10} ×\frac{1}{15} +\frac{2}{10} ×\frac{1}{20} =0.08$.
(2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，
由贝叶斯公式，得该件产品是甲厂生产的概率为
$P(A_1|B)=\frac{P(A_1B)}{P(B)} =\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} =\frac{0.5×0.1}{0.08} =$
0.625.

17. (2025·浙江杭州模拟)为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀,某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中,甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题,已知甲校答对这道题的概率为$\frac{3}{4}$,甲、丙两所学校都答对这道题的概率是$\frac{1}{2}$,乙、丙两所学校都答对这道题的概率是$\frac{1}{4}$.各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
(1)若规定三所学校都需要回答这个问题,求甲、乙、丙三所学校中至少有1所学校正确回答这道题的概率;
(2)若规定三所学校需要抢答这道题,已知甲校抢到答题机会的概率为$\frac{2}{5}$,乙校抢到答题机会的概率为$\frac{3}{10}$,丙校抢到答题机会的概率为$\frac{3}{10}$,求这个问题回答正确的概率.

答案： 17.解：
(1)记“甲、乙、丙三所学校独自答对这道题”分别为事件A，B，C，各学校回答这道题正确与否是相互独立的，
由题意可知$P(A)=\frac{3}{4}$，$P(A)P(C)=\frac{1}{2}$，
$P(B)P(C)=\frac{1}{4}$，解得$P(B)=\frac{3}{8}$，$P(C)=\frac{2}{3}$.
所以乙校答对这道题的概率为$\frac{3}{8}$，丙校答对这道题的概
率为$\frac{2}{3}$.
记“甲、乙、丙三所学校中至少有1所学校正确回答这道题”
为事件D，其对立事件是三所学校都回答错误，即$[1 -P(A)][1 - P(B)][1 - P(C)]=(1 - \frac{3}{4}) ×(1 - \frac{3}{8}) ×(1 - \frac{2}{3}) =\frac{5}{96}$，
则三所学校中至少有1所学校正确回答这道题的概率为
$P(D)=1 -\frac{5}{96} =\frac{91}{96}$.
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，则设“这个问题回答正
确”为事件E，“甲、乙、丙三所学校抢到答题机会”分别是事
件$A_1$，$A_2$，$A_3$，则$P(A_1)=\frac{2}{5}$，$P(A_2)=\frac{3}{10}$，$P(A_3)=\frac{3}{10}$，
$P(E|A_1)=\frac{3}{4}$，$P(E|A_2)=\frac{3}{8}$，$P(E|A_3)=\frac{2}{3}$，
则$P(E)=P(A_1)P(E|A_1)+P(A_2)P(E|A_2)+P(A_3)·$
$P(E|A_3)$
$=\frac{2}{5} ×\frac{3}{4} +\frac{3}{10} ×\frac{3}{8} +\frac{3}{10} ×\frac{2}{3} =\frac{49}{80}$，
即这个问题回答正确的概率为$\frac{49}{80}$.