《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2025·浙江台州模拟)若随机变量 $ X \sim N(1,\sigma^{2}) $，且 $ P(X ＜ 0.9) = 0.3 $，则 $ P(|X - 1| ＜ 0.1) = $(B)

A.0.3
B.0.4
C.0.5
D.0.6

答案： 1.B 解析：由$\vert X - 1\vert ＜ 0.1$可得$-0.1 ＜ X - 1 ＜ 0.1$，
即$0.9 ＜ X ＜ 1.1$，
所以$P(\vert X - 1\vert ＜ 0.1) = P(0.9 ＜ X ＜ 1.1) = 1 - 2P(X ＜ 0.9)$
$= 1 - 2 × 0.3 = 0.4$。

2. (多选题)(2025·河北秦皇岛模拟)已知两种金属元件(分别记为 $ X,Y $)的抗拉强度均服从正态分布，且 $ X \sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}) $，$ Y \sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}) $，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是(AB)
(参考数据:若 $ Z \sim N(\mu,\sigma^{2}) $，则 $ P(\mu - \sigma \leq Z \leq \mu + \sigma) \approx 0.6827 $，$ P(\mu - 2\sigma \leq Z \leq \mu + 2\sigma) \approx 0.9545 $)


A.$ P(\mu_{1} - \sigma_{1} ＜ X ＜ \mu_{1} + 2\sigma_{1}) \approx 0.8186 $
B.$ P(Y \geq \mu_{2}) ＜ P(Y \geq \mu_{1}) $
C.$ P(X \leq \sigma_{2}) ＜ P(X \leq \sigma_{1}) $
D.对于任意的正数 $ t $，恒有 $ P(X \geq t) ＞ P(Y \geq t) $

答案： 2.AB 解析：对于A,$P(\mu_1 - \sigma_1 ＜ X ＜ \mu_1 + 2\sigma_1) \approx \frac{1}{2} × (0.6827 + 0.9545) = 0.8186$，所以A正确；
对于B，由两个正态分布密度曲线知$\mu_1 ＜ \mu_2$，则$P(Y \geq \mu_2) ＜ P(Y \geq \mu_1)$，所以B正确；
对于C，由两个正态分布密度曲线知$\sigma_1 ＜ \sigma_2$，则$P(X \leq \sigma_2) ＞ P(X \leq \sigma_1)$，所以C错误；
对于D，对于任意的正数$t$，由题图可知，$P(X \geq t)$表示的面积始终小于$P(Y \geq t)$表示的面积，
则恒有$P(X \geq t) ＜ P(Y \geq t)$，所以D错误.

3. (2025·山东临沂模拟)设随机变量 $ \xi \sim N(2,5) $，若 $ P(\xi ＜ m) = P(\xi ＞ m - 1) $，则 $ m = $$\frac{5}{2}$。

答案： 3.$\frac{5}{2}$ 解析：由题意知$\mu = 2$，$P(\xi ＜ m) = P(\xi ＞ m - 1)$，所以
$\frac{m + m - 1}{2} = 2$，解得$m = \frac{5}{2}$.

4. (2025·河南郑州模拟)统计学中通常认为服从正态分布 $ N(\mu,\sigma^{2}) $的随机变量 $ X $只取 $ [\mu - 3\sigma,\mu + 3\sigma] $中的值，简称为 $ 3\sigma $原则。假设某厂生产的包装盒的厚度(单位:mm)$ X \sim N(10,\sigma^{2}) $，某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于 16 mm，他立即判断生产出现了异常，由此可知 $ \sigma $的最大值为2。

答案： 4.2 解析：由题可知$10 + 3\sigma \leq 16$，解得$\sigma \leq 2$，故$\sigma$的最大值为2.

(多选题)(2025·广东东莞模拟)为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试，研究发现，本次检测的数学成绩 $ X $近似服从正态分布 $ X \sim N(103,20^{2}) $。则下列说法正确的有(BCD)
参考数据:可供查询的(部分)标准正态分布 $ N(0,1) $对应的概率值如下表。


A. 已知$\varPhi(a)=0.7$，则$P(|Z|\lt a)=0.6$
B. $ \varPhi(a) + \varPhi(-a) = 1 $
C. 按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占 40%，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为 108(精确到整数)

D. 已知该市考生约有 10 000 名，某学生此次检测数学成绩为 110 分，则该学生在全市排名大概位于 3 630～3 640 名之间

答案： BCD 解析：对于A，因为$\Phi(a) = 0.7$，即$P(Z ＜ a) = 0.7$，
可得$P(Z ＞ a) = 1 - P(Z ＜ a) = 0.3$，
所以$P(\vert Z\vert ＜ a) = 1 - 2P(Z ＞ a) = 0.4$，故A错误；
对于B，因为$\Phi(a) + \Phi(-a) = P(Z ＜ a) + P(Z ＜ -a) = P(Z ＜ a) + P(Z ＞ a) = 1$，故B正确；
对于C，由题意可知$1 - \Phi(a) \approx 0.4$，则$\Phi(a) \approx 0.6$，
对比表格可知$0.25 ＜ a ＜ 0.26$，即$0.25 ＜ \frac{X - 103}{20} ＜ 0.26$，解得
$108 ＜ X ＜ 108.2$，
所以估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108，故C
正确；
对于D，由题意可知$a = \frac{110 - 103}{20} = 0.35$，且$\Phi(0.35) \approx 0.6368$，
可得$P(Z ＞ 0.35) = 1 - \Phi(0.35) \approx 0.3632$，则$10000 × 0.3632$
$= 3632$，
所以该学生在全市排名大概位于$3630 \sim 3640$名之间，故D
正确.