《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例 2 - 2
(2025·湖南郴州模拟)已知随机变量 $X$ 取所有的值 $1$，$2$，$·s$，$n$ 是等可能的，且 $E(X)=3$，则 $D(2X + 1)=$8。
概率均为 $\frac{1}{n}$，$D(2X + 1)=2^{2}D(X)$。

答案： 解：由题意知，随机变量$X$取值$1,2,·s,n$，且$P(X=k)=\frac{1}{n}(k=1,2,·s,n)$。
$E(X)=\frac{1}{n}(1 + 2 + ·s + n)=\frac{n + 1}{2}=3$，解得$n=5$。
$D(X)=\frac{1}{5}[(1 - 3)^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 3)^2 + (4 - 3)^2 + (5 - 3)^2]$
$=\frac{1}{5}[(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2]$
$=\frac{1}{5}(4 + 1 + 0 + 1 + 4)=2$。
$D(2X + 1)=2^2D(X)=4×2=8$。
8

例 2 - 3
（2025·江苏南京模拟）已知 $X$ 的分布列如表所示：

(1) 求 $X^{2}$ 的分布列；当 $X^{2}=1$ 时，$X=\pm 1$，从而 $P(X^{2}=1)=P(X = 1)+P(X = -1)$。
(2) 计算 $X$ 的方差；
(3) 若 $Y = 4X + 3$，求 $Y$ 的均值和方差。利用性质：(1)$E(Y)=4E(X)+3$；(2)$D(Y)=4^{2}D(Y)=16D(Y)$。

答案：
[名师讲习] 解：
(1) 由分布列的性质知 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+a = 1$，
解得 $a=\frac{1}{4}$，所以 $X^{2}$ 的分布列为

(2) 方法一：由
(1)知 $a=\frac{1}{4}$，
所以 $E(X)=(-1)×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$，
$D(X)=(-1+\frac{1}{4})^{2}×\frac{1}{2}+(0+\frac{1}{4})^{2}×\frac{1}{4}+(1+\frac{1}{4})^{2}×\frac{1}{4}=\frac{11}{16}$。直接根据离散型随机变量的方差公式进行计算。
方法二：由
(1)知 $a=\frac{1}{4}$，
所以 $E(X)=(-1)×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$，
$E(X^{2})=0×\frac{1}{4}+1×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$，
所以 $D(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}=\frac{11}{16}$。根据方差公式的变形 $D(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}$ 进行计算，此种方法使运算更简便。
(3) 因为 $Y = 4X + 3$，所以 $E(Y)=4E(X)+3 = 2$，
$D(Y)=4^{2}D(X)=11$。