《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

7. (2025·江苏苏州模拟)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成。规定：至少正确完成其中 2 道题便可通过面试。已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 $\frac{2}{3}$，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响。
(1) 求甲正确完成面试题数 $\xi$ 的分布列及其期望；
(2) 求乙正确完成面试题数 $\eta$ 的分布列及其方差；
(3) 试问：甲和乙谁通过面试的可能性更大？并说明理由。

答案： 解：
(1)方法一：甲正确完成面试题数$\xi$的可能取值为1,2,3，
$P(\xi=1)=\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{2}}{C_{5}^{3}}=\frac{1}{5}$,$P(\xi=2)=\frac{C_{3}^{2}C_{2}^{1}}{C_{5}^{3}}=\frac{3}{5}$，
$P(\xi=3)=\frac{C_{3}^{3}C_{2}^{0}}{C_{5}^{3}}=\frac{1}{5}$.
所以甲正确完成面试题数$\xi$的分布列为
$\xi$ 1 2 3
$P$ $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{5}$
$E(\xi)=1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}=2$.
方法二：$\xi$服从参数为6,4,3的超几何分布，所以$E(\xi)=\frac{3×4}{6}=2$.
(2)方法一：乙正确完成面试题数$\eta$的可能取值为0,1,2,3，
所以$P(\eta=0)=C_{3}^{0}×(\frac{2}{3})^{0}×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{27}$，
$P(\eta=1)=C_{3}^{1}×\frac{2}{3}×(1-\frac{2}{3})=\frac{2}{9}$，
$P(\eta=2)=C_{3}^{2}×(\frac{2}{3})^{2}×(1-\frac{2}{3})=\frac{4}{9}$，
$P(\eta=3)=C_{3}^{3}×(\frac{2}{3})^{3}×(1-\frac{2}{3})=\frac{8}{27}$，
所以乙正确完成面试题数$\eta$的分布列为
$\eta$ 0 1 2 3
$P$ $\frac{1}{27}$ $\frac{2}{9}$ $\frac{4}{9}$ $\frac{8}{27}$
所以$E(\eta)=0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{8}{27}=2$，
$D(\eta)=(0-2)^{2}×\frac{1}{27}+(1-2)^{2}×\frac{2}{9}+(2-2)^{2}×\frac{4}{9}+(3-2)^{2}×\frac{8}{27}=\frac{8}{27}×\frac{2}{3}$.
方法二：因为$\eta\sim B(3,\frac{2}{3})$，所以$E(\eta)=3×\frac{2}{3}=2$,$D(\eta)=3×\frac{2}{3}×(1-\frac{2}{3})=\frac{2}{3}$.
(3)因为$P(\xi\geq2)=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$,$P(\eta\geq2)=\frac{4}{9}+\frac{8}{27}=\frac{20}{27}$，
所以$P(\xi\geq2)＞P(\eta\geq2)$，所以甲通过面试的可能性更大.

8. (2025·山东日照模拟)一袋中有 7 个大小相同的小球，其中有 2 个红球，3 个黄球，2 个蓝球，从中任取 3 个小球。
(1) 求红、黄、蓝三种颜色的小球各取 1 个的概率；
(2) 设 $X$ 表示取到的蓝色小球的个数，求 $X$ 的分布列和数学期望。

答案： 解：
(1)$P=\frac{C_{2}^{2}C_{3}^{1}}{C_{5}^{3}}=\frac{12}{35}$.
(2)$X$的可能取值为0,1,2,$X$服从参数为$N=7,M=2,n=3$的超几何分布.
$P(X=0)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{7}^{3}}=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}$,$P(X=1)=\frac{C_{2}^{1}C_{5}^{2}}{C_{7}^{3}}=\frac{4}{7}$，
$P(X=2)=\frac{C_{2}^{2}C_{5}^{1}}{C_{7}^{3}}=\frac{1}{7}$，
所以$X$的分布列为
$X$ 0 1 2
$P$ $\frac{2}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{1}{7}$
$E(X)=0×\frac{2}{7}+1×\frac{4}{7}+2×\frac{1}{7}=\frac{6}{7}$.