《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

2. (2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()

A. $ \frac{1}{4} $
B. $ \frac{1}{3} $

C. $ \frac{1}{2} $

D. $ \frac{2}{3} $

答案： B

3. (2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共 6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为()

A.$ \frac{5}{6} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{1}{3} $

答案： A

1. (2025·福建福州模拟)高三要安排毕业晚会的 4 个音乐节目、2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求 2 个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是(B)

A.1 800
B.3 600
C.4 320
D.5 040

答案： 1.B 解析：先安排除舞蹈节目以外的5个节目，共$A_{5}^{5}$种排法，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有$A_{6}^{2}$种方法，所以共有$A_{5}^{5}A_{6}^{2}=3600$（种）排法.

2. (2025·福建莆田模拟)不等式 $A_{6}^{x}＜6A_{6}^{x - 2}$ 的解集为(C)

A.$\{4\}$
B.$\{5\}$
C.$\{6\}$
D.$\{7\}$

答案： 2.C 解析：因为$A_{8}^{2}＜6A_{6}^{-2}$，则$\frac{6!}{(6-x)!}＜6×\frac{6!}{(8-x)!}$，得$x^{2}-15x+50＜0$，得$5＜x＜10$，又因为$x\leq6$，$x\in\mathbf{N}^*$，所以$x=6$.

3. (2025·湖北武汉模拟)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个,分别记为 $a,b$,共可得到 $\lg a - \lg b$ 的不同的值的个数是(C)

A.9
B.10
C.18
D.20

答案： 3.C 解析：$\lg a - \lg b = \lg\frac{a}{b}$，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为$a$，$b$，共有$5×4 = 20$（种），其中$\lg\frac{1}{3}=\lg\frac{3}{9}$，$\lg\frac{3}{1}=\lg\frac{9}{3}$，故其可得到18个不同的值.

4. (2025·浙江台州检测)有甲、乙、丙三位同学,分别从物理、化学、生物、政治、历史五门课中任选一门,要求物理必须有人选,且每人所选的科目各不相同,则不同的选法种数为(B)

A.24
B.36
C.48
D.72

答案： 4.B 解析：每人所选的科目各不相同的选法有$A_{3}^{3}=60$（种），物理没有人选的选法有$A_{3}^{3}=24$（种）.则不同的选法种数为$60 - 24 = 36$.故选B.

5. (2025·福建龙岩模拟)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术 6 门课各一节的课程表,要求数学课排在前 3 节,英语课不排在第 6 节,则不同的排法共有(C)

A.75 种
B.144 种
C.288 种
D.360 种

答案： 5.C 解析：先排数学，有$A_{1}^{1}=3$（种）不同的排法；再排英语，有$A_{1}^{1}=4$（种）不同的排法；最后排剩余课程，有$A_{4}^{4}=24$（种）不同的排法；所以不同的排法共有$3×4×24 = 288$（种）.

6. (2025·北京西城模拟)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从 2,3,4,5,6,9 这 6 个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有(C)

A.120 个
B.80 个
C.40 个
D.20 个

答案： 6.C 解析：由题意知，可按十位数字的取值进行分类：第一类，十位数字取9，有$A_{2}^{2}$个；第二类，十位数字取6，有$A_{2}^{2}$个；第三类，十位数字取5，有$A_{2}^{2}$个；第四类，十位数字取4，有$A_{2}^{2}$个.所以“伞数”的个数为$A_{2}^{2}+A_{2}^{2}+A_{2}^{2}+A_{2}^{2}=40$.

7. (2025·天津和平检测)由 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成没有重复数字且能被 5 整除的 5 位数的个数是(C)

A.144
B.192
C.216
D.240

答案： 7.C 解析：因为由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；当个位数字是0时，共有$A_{5}^{5}=120$（种）情况；当个位数字是5时，共有$A_{4}^{1}A_{4}^{3}=96$（种）情况；因此，由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是$120 + 96 = 216$.故选C.

8. (2025·上海卷)4 个家长和 2 个儿童去爬山,6 个人需要排成一条队列,要求队列的头和尾均是家长,则不同的排列个数有288种.

答案： 8.288 解析：先选两位家长排在首尾有$A_{2}^{2}=12$（种）排法；再排队中的四人有$A_{4}^{4}=24$（种）排法，故有$12×24 = 288$（种）排法.故答案为288.

9. (2025·江苏盐城模拟)《红楼梦》四十一回中,凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴,这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料,烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅,茄子净肉在鸡脯肉后下锅(不一定相邻),鸡汤最后下锅,则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有12种.

答案： 9.12 解析：根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，所以，不同的下锅顺序种数为$\frac{A_{5}^{5}}{A_{3}^{3}}=12$（种）.