《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

17. (2025·江苏徐州模拟)将 12 枝相同颜色的鲜花放入编号为 1，2，3，4 的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为10。

答案： 17.10解析:先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，则还剩2枝鲜花，这2枝鲜花可以放在1个或2个花瓶中，所以不同的放法共有C₁¹ + C₄² = 10(种)。

18. 将 6 个相同的小球放入编号为 1，2，3，4 的 4 个盒子中，求按照下列条件分配的方法种数。
(1)每个盒子都不空；$ O _ O _ O _ O _ O _ O $ 5 个空隙中放 3 个板：$ C_{5}^{3} $。
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子。先在首尾两球外侧各放 1 个板，并在 5 个空隙中放 2 个板，再将 1 个板与前 4 个板中的任意一个并放。

答案： 18.解:
(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C₅³ = 10(种)方法。
(2)恰有一个空盒子，分两步进行。先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如“|O|OOO|OO|”(其中“|”表示隔板，“O”表示小球)，有C₅²种插法，然后将剩下的一块隔板与已放置的隔板中任意一块并放形成空盒，如“|O|OOO||OO|”，有C₄¹种插法，故共有C₅²·C₄¹ = 40(种)方法。
(3)恰有两个空盒子，分两步进行。先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C₅¹种插法，如“|OO|OOOO|”，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒子。①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个空盒子，如“||OO||OOOO|”，有C₄²种插法；②将两块板与前面三块板之一并放，如“|OO|||OOOO|”，有C₄¹种插法。故共有C₅¹·(C₄² + C₄¹) = 30(种)方法。

19. 有 10 个运动员名额，分给班号分别为 1，2，3 的 3 个班。“隔板法”
(1)每班至少 1 个名额，有多少种分配方案？
(2)每班至少 2 个名额，有多少种分配方案？
(3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？可增加 3 个名额，转化为每班至少一个名额，用“隔板法”。也可以分成三类：分别有 0 个、1 个、2 个班级没有名额。
解题通法
运用隔板法求解组合问题的解题策略
“将 $ n $ 个相同元素分成 $ m $ 组(每组的任务不同)”的问题一般可用隔板法求解。
(1)当每组至少含有一个元素时，其不同的分组方法有 $ C_{n - 1}^{m - 1} $ 种，即在 $ n $ 个元素中间形成的 $ (n - 1) $ 个空中插入 $ (m - 1) $ 个“隔板”。
(2)任意分组，可出现某些组所含元素个数为 0 的情况，不符合隔板法的适用条件，但可人为增加 $ m $ 个元素，使每组至少含有一个元素，此时问题就转化为将 $ (n + m) $ 个相同元素分成 $ m $ 组，且每组至少含有一个元素，则不同的分组方法有 $ C_{n + m - 1}^{m - 1} $ 种。
(3)若某一小组至少含有 $ a(a \geq 2,a \in N^{*}) $ 个元素，可先取 $ (a - 1) $ 个元素给这一小组，此时问题就转化为将 $ (n - a + 1) $ 个相同元素分成 $ m $ 组，每组至少含有一个元素，则不同的分组方法有 $ C_{n - a}^{m - 1} $ 种。

答案：
19.解:
(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入隔板，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分配方案，共有分配方案C₉² = 36(种)。下图是其中一种分配方案，表示分给1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个。

(2)要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第
(1)小问的方法，可得有分配方案C₆² = 15(种)。下图是其中一种分配方案，表示分给1班、2班、3班的名额分别是3 + 1 = 4(个),2 + 1 = 3(个),2 + 1 = 3(个)。

(3)方法一:增加3个名额，使得每个班级至少有1个名额，此时问题转化为将13个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第
(1)小问的方法，可得有分配方案C₁₂² = 66(种)。下图是其中一种分配方案，表示分给1班、2班、3班的名额分别是3 - 1 = 2(个),6 - 1 = 5(个),4 - 1 = 3(个)。

方法二:都有名额共有C₉²种，只有一个班没有名额共有C₃¹C₈²种，有两个班没有名额共有C₃²种，由分类加法计数原理得共有C₉² + C₃¹C₈² + C₃² = 66(种)分配方案。

20. (2025·山东威海模拟)某学习小组共有 5 位同学，毕业之前举行了互赠纪念品的活动，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品。已知这 5 位同学之间共进行了 8 次交换，其中 1 位同学收到 2 份纪念品，另外 4 位同学收到的纪念品的数量最少是 $ m $ 个，最多是 $ n $ 个，则 $ m + n = $(C)

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 20.C解析:这5位同学每两人之间都进行一次交换，则进行交换的次数为C₅² = 10，而现在进行了8次交换，且其中1位同学收到2份纪念品，则另外4位同学收到的纪念品的数量最少是3个，最多是4个，所以m + n = 7。

21. (安徽卷)6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品。已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品的同学人数为(D)

A.1 或 3
B.1 或 4
C.2 或 3
D.2 或 4
由 $ C_{6}^{2} = 15 $ (次)，可知少交换了 2 次，再分类讨论这 2 次是发生在同一个人身上。
学习笔记
握手(交换)问题的实质是组合问题。涉及的元素一般不多，解题时可以把符合条件的情况一一列举出来。$ n $ 个人互相握手一次，共握了 $ C_{n}^{2} = \frac{n(n - 1)}{2} $ 次。

答案： 21.D解析:设6位同学分别为a,b,c,d,e,f。若任意两位同学之间都进行一次交换，则进行交换的次数为C₆² = 15，且每人应收到5份纪念品，现共进行了13次交换，说明有2次交换没有发生。此时可能有两种情况:①若缺少的两次交换都发生在同一个人身上，如a↔b和a↔c之间没有发生交换，则收到4份纪念品的有b,c2人；②若缺少的两次交换没有发生在同一个人身上，如a↔b和c↔d之间没有发生交换，则收到4份纪念品的有a,b,c,d4人。