《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

6. (多选题)(2025·山东潍坊调研)已知随机变量 $ X $ 服从正态分布 $ N(100,10^{2}) $，则下列选项正确的有(ABC)
(参考数值：若随机变量 $ ξ $ 服从正态分布 $ N(μ,σ^{2}) $，则 $ P(μ - σ≤ξ≤μ + σ)≈0.6827 $，$ P(μ - 2σ≤ξ≤μ + 2σ)≈0.9545 $，$ P(μ - 3σ≤ξ≤μ + 3σ)≈0.9973 $)

A.$ E(X)=100 $
B.$ D(X)=100 $
C.$ P(X≥90)≈0.84135 $
D.$ P(X≤120)≈0.99865 $

答案： 6.ABC 解析：$\because$随机变量X服从正态分布$N(100,10^{2})$，$\therefore$正态曲线关于$x=100$对称，且$E(X)=100$，$D(X)=10^{2}=100$，故A，B正确；根据题意可得，$P(90\leq X\leq110)\approx0.6827$，$P(80\leq X\leq120)\approx0.9545$，$\therefore P(X＞90)\approx0.5+\frac{1}{2}×0.6827=0.84135$，$P(X\leq120)\approx0.5+\frac{1}{2}×0.9545=0.97725$，故C正确，D错误.故选ABC.

7. (2025·河北唐山模拟)某校高三学生的模考数学成绩 $ X $ 服从正态分布 $ N(85,10^{2}) $，按照 $ 16\% $，$ 34\% $，$ 34\% $，$ 16\% $的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为 $ 92 $ 分，则他的等级是(B)

A.优秀
B.良好
C.合格
D.基本合格

答案： 7.B 解析：由题意得$\mu=85$，$\sigma=10$，所以$\mu-\sigma=95$，$\mu-\sigma=75$.
因为$P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx0.6827$，
所以$P(X＞95)\approx\frac{1-0.6827}{2}=0.15865\approx16\%$，根据比例，成绩大于95分为优秀.
$P(85＜X\leq95)\approx\frac{0.6827}{2}=0.34135\approx34\%$，根据比例，成绩在85分到95分之间为良好.
因为小张的数学成绩为92分，所以他的等级是良好.

8. (多选题)(2025·湖南长沙模拟)李明每天 $ 7:00 $ 从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了 $ 50 $ 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时 $ 30 $ 分钟，样本方差为 $ 36 $；骑自行车平均用时 $ 34 $ 分钟，样本方差为 $ 4 $.假设坐公交车用时 $ X $ 和骑自行车用时 $ Y $ 都服从正态分布，则(BCD)

A.$ P(X＞32)＞P(Y＞32) $
B.$ P(X≤36)=P(Y≤36) $
C.李明计划 $ 7:34 $ 前到校，应选择坐公交车
D.李明计划 $ 7:40 $ 前到校，应选择骑自行车

答案： 8.BCD 解析：由条件可知$X\sim N(30,6^{2})$，$Y\sim N(34,2^{2})$，根据对称性可知$P(Y＞32)＞0.5＞P(X＞32)$，故A错误；
$P(X\leq36)=P(X\leq\mu+\sigma)$，$P(Y\leq36)=P(Y\leq\mu+\sigma)$，所以$P(X\leq36)=P(Y\leq36)$，故B正确；
$P(X\leq34)＞0.5=P(Y\leq34)$，所以$P(X\leq34)＞P(Y\leq34)$，故C正确；
$P(X\leq40)＜P(X＜42)=P(X＜\mu+2\sigma)$，$P(Y\leq40)=P(Y\leq\mu+3\sigma)$，所以$P(X\leq40)＜P(Y\leq40)$，故D正确.

9. (2025·山东烟台调研)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布 $ N(100,17.5^{2}) $，成绩在 $ 117.5 $ 分以上(不含 $ 117.5 $ 分)的学生有 $ 80 $ 人，则此次参加考试的学生成绩低于 $ 82.5 $ 分的概率(精确到 $ 0.01 $)约为0.16；如果成绩大于 $ 135 $ 分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有10人.(若 $ X～N(μ,σ^{2}) $，则 $ P(μ - σ≤X≤μ + σ)≈0.6827 $，$ P(μ - 2σ≤X≤μ + 2σ)≈0.9545 $)

答案： 9.0.16 10 解析：因为数学成绩X近似服从正态分布$N(100,17.5^{2})$，则$P(100-17.5\leq X\leq100+17.5)=P(82.5\leq X\leq117.5)\approx0.6827$，所以数学成绩特别优秀的概率$P(X＞135)=\frac{1-P(65\leq X\leq135)}{2}\approx\frac{1-0.9545}{2}\approx0.02$.又$P(X＜82.5)=P(X＞117.5)$，所以本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是$\frac{80}{0.16}×0.02=10$.

10. (2025·安徽黄山模拟)某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布 $ N(500,5^{2}) $(单位：$ g $).
(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于 $ 485g $ 的概率约为多少？
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于 $ 485g $，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修.检测员的判断是否合理？请说明理由.
(附：若 $ X $ 服从正态分布 $ N(μ,σ^{2}) $，则 $ P(μ - σ≤X≤μ + σ)≈0.6827 $，$ P(μ - 2σ≤X≤μ + 2σ)≈0.9545 $，$ P(μ - 3σ≤X≤μ + 3σ)≈0.9973 $)

答案： 10.解：
(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为$Xg$，由题意可知$X\sim N(500,5^{2})$.
$\because485=500-3×5$，
$\therefore$由正态分布的对称性可知，$P(X＜485)=\frac{1}{2}×[1-P(485\leq X\leq515)]\approx\frac{1}{2}×0.0027=0.00135$.
(2)检测员的判断是合理的.
$\because$如果生产线不出现异常的话，由
(1)可知，随机抽取两包白糖检测，质量都小于$485g$的概率约为$0.00135×0.00135=0.0000018225=1.8225×10^{-6}$，为极小概率事件，几乎不可能发生，但这样的事件竟然发生了，
$\therefore$有理由认为生产线出现异常，即检测员的判断是合理的.

11. 在如图所示的正方形中随机投掷 $ 10000 $ 个点，则落入阴影部分(曲线 $ C $ 为正态分布 $ N(-1,1) $ 的密度曲线)的点的个数的估计值为(B)
(附：若 $ X～N(μ,σ^{2}) $，则 $ P(μ - σ≤X≤μ + σ)≈0.6827 $，$ P(μ - 2σ≤X≤μ + 2σ)≈0.9545 $)


A.$ 1193 $
B.$ 1359 $
C.$ 2718 $
D.$ 3413 $

答案： 11.B 解析：对于正态分布$N(-1,1)$，可知$\mu=-1$，$\sigma=1$.正态曲线关于直线$x=-1$对称，故题图中阴影部分的面积为$P(0\leq X\leq1)=P(-1\leq X\leq1)-P(-1\leq X\leq0)=\frac{1}{2}×[P(\mu-2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma)-P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)]\approx\frac{1}{2}×(0.9545-0.6827)=0.1359$。
所以点落入题图中阴影部分的概率约为$P=\frac{0.1359}{1}=0.1359$，
投入10000个点，落入阴影部分的点的个数约为$10000×0.1359=1359$.故选B.

12. (2025·黑龙江哈尔滨模拟)某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ E $ 共 $ 5 $ 个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 $ 10\% $，$ 35\% $，$ 35\% $，$ 18\% $，$ 2\% $，选考科目成绩计入考生总成绩时，将 $ A $ 至 $ E $ 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到 $[86,100]$，$[71,85]$，$[56,70]$，$[41,55]$，$[30,40]$ 五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩.如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩 $ X～N(50,256) $，若一名学生想取得 $ A $ 等的赋分等级，则他的原始分数最低为71分.(分数保留整数)
(附：①若 $ X～N(μ,σ^{2}) $，$ Y=\frac{X - μ}{σ} $，则 $ Y～N(0,1) $；②当 $ Y～N(0,1) $ 时，$ P(Y≤1.3)≈0.9 $)

答案： 12.71 解析：由题意知，从高到低，即A等级人数所占比例为10%.若A等级的原始分数最低为X，又原始成绩$X\sim N(50,256)$，
则$\mu=50$，$\sigma=16$，令$Y=\frac{X-50}{16}$，则$Y\sim N(0,1)$.
又$P(Y\leq1.3)\approx0.9$，所以$P(Y\geq1.3)=1-P(Y＜1.3)\approx0.1$，
即$\frac{X-50}{16}\geq1.3$，可得$X\geq50+1.3×16=70.8\approx71$，
则他的原始分数最低为71分.