《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

13. 已知 $ f(x)=(\sqrt[3]{x^{2}}+3x^{2})^{n}(n \in N^{*}) $ 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992。
(1) 求展开式中二项式系数最大的项；固定值：$ 2^{n} $。
(2) 求展开式中系数最大的项。
令 $ x = 1 $，得系数和为 $ 4^{n} $。

答案： 13.解：令$x = 1$，则展开式中各项系数的和为$f(1)=(1 + 3)^{n}=4^{n}$，又展开式中各项的二项式系数之和为$2^{n}$，故$4^{n}-2^{n}=992$，$\therefore (2^{n})^{2}-2^{n}-992 = 0$，$\therefore 2^{n}=32$或$2^{n}=-31$(舍去)或$2^{n}=32$，$\therefore n = 5$。
(1)由于$n = 5$为奇数，$\therefore$展开式中二项式系数最大的项为中
间的两项，它们分别为$C_{5}^{2}(x^{\frac{2}{3}})^{3}(3x^{2})^{2}=90x^{6}$，$C_{5}^{3}(x^{\frac{2}{3}})^{2}· (3x^{2})^{3}=270x^{\frac{22}{3}}$。
(2)展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{5}^{k}3^{k}x^{\frac{2}{3}(5 + 2k)}(0\leqslant k\leqslant 5,k\in \mathbf{N})$，
假设$T_{k + 1}$项系数最大，
则有$\begin{cases}C_{5}^{k}3^{k}\geqslant C_{5}^{k - 1}3^{k - 1},\\C_{5}^{k}3^{k}\geqslant C_{5}^{k + 1}3^{k + 1},\end{cases}$
即$\begin{cases}\frac{5!}{(5 - k)!k!}× 3\geqslant \frac{5!}{(6 - k)!(k - 1)!},\frac{5!}{(5 - k)!k!}\geqslant \frac{5!}{(4 - k)!(k + 1)!}× 3,\end{cases}$
即$\begin{cases}\frac{3}{k}\geqslant \frac{1}{6 - k},\frac{1}{5 - k}\geqslant \frac{3}{k + 1},\end{cases}$
解得$\frac{7}{2}\leqslant k\leqslant \frac{9}{2}$，
$\because k\in \mathbf{N}$，$\therefore k = 4$，
$\therefore$展开式中系数最大的项为$T_{5}=C_{5}^{4}3^{4}x^{\frac{2}{3}× (5 + 2× 4)}=405x^{\frac{26}{3}}$。

14. 在 $ (\sqrt{x}-\frac{2}{x^{2}})^{8} $ 的展开式中，
(1) 系数绝对值最大的项是第几项？
(2) 求二项式系数最大的项；
(3) 求系数最大的项；
(4) 求系数最小的项。
可转化成求 $ (\sqrt{x}+\frac{2}{x^{2}})^{8} $ 的展开式中系数最大的项是第几项。
当二项展开式中系数正负相间，求系数最值时，可先求系数绝对值最值，再根据系数的正负来判断系数最大项、最小项。

答案： 14.解：展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{8}^{k}(\sqrt{x})^{8 - k}(-\frac{2}{x^{2}})^{k}=(-1)^{k}C_{8}^{k}2^{k}x^{4 - \frac{5k}{2}}$。
(1)设第$k + 1$项系数的绝对值最大，
则$\begin{cases}C_{8}^{k}2^{k}\geqslant C_{8}^{k + 1}2^{k + 1},\\C_{8}^{k}2^{k}\geqslant C_{8}^{k - 1}2^{k - 1},\end{cases}$
则$\begin{cases}\frac{1}{8 - k}\geqslant \frac{2}{k + 1},\frac{2}{k}\geqslant \frac{1}{9 - k},\end{cases}$
解得$5\leqslant k\leqslant 6$，即$k = 5$或$k = 6$。
故系数绝对值最大的项是第$6$项和第$7$项.
(2)$\because n = 8$，$\therefore$二项式系数最大的项为中间项，即为第$5$项.
$\therefore T_{5}=C_{8}^{4}2^{4}x^{4 - \frac{20}{2}}=1120x^{-6}$。
(3)方法一：由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最
大的项必是奇数项.
设展开式中第$k + 1(k$为偶数$)$项的系数最大，
则$\begin{cases}C_{8}^{k}2^{k}\geqslant C_{8}^{k - 2}2^{k - 2},\\C_{8}^{k}2^{k}\geqslant C_{8}^{k + 2}2^{k + 2},\end{cases}$
解得$\frac{21 - \sqrt{145}}{2}\leqslant k\leqslant \frac{25 - \sqrt{145}}{2}$，
则$k = 6$，故展开式中系数最大的项为$T_{7}=C_{8}^{6}2^{6}x^{-11}=1792x^{-11}$。
方法二：由
(1)知，展开式中的第$6$项和第$7$项系数的绝对值
最大，而第$6$项的系数为负，第$7$项的系数为正，故系数最大
的项为$T_{7}=C_{8}^{6}2^{6}x^{-11}=1792x^{-11}$。
(4)方法一：由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最
小的项必是偶数项.
设展开式中第$k + 1(k$为奇数$)$项的系数最小，
则$\begin{cases}C_{8}^{k}2^{k}\geqslant C_{8}^{k - 2}2^{k - 2},\\C_{8}^{k}2^{k}\geqslant C_{8}^{k + 2}2^{k + 2},\end{cases}$
解得$\frac{21 - \sqrt{145}}{2}\leqslant k\leqslant \frac{25 - \sqrt{145}}{2}$，
则$k = 5$，故展开式中系数最小的项为$T_{6}=(-1)^{5}C_{8}^{5}2^{5}x^{-\frac{17}{2}}=-1792x^{-\frac{17}{2}}$。
方法二：由
(1)知，展开式中的第$6$项和第$7$项系数的绝对值
最大，且第$6$项的系数为负，第$7$项的系数为正，故系数最小
的项为$T_{6}=(-1)^{5}C_{8}^{5}2^{5}x^{-\frac{17}{2}}=-1792x^{-\frac{17}{2}}$。

15. (2025·重庆沙坪坝模拟)已知二项式 $ (x + 2)^{4}=a_{0}+a_{1}(x + 1)+a_{2}(x + 1)^{2}+a_{3}(x + 1)^{3}+a_{4}(x + 1)^{4} $，则 $ a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= $(D)

A.81
B.80
C.16
D.15

答案： 15.D 解析：令$x + 1 = 1$，则$(1 + 1)^{4}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$，
即$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=16$。又$a_{0}=C_{4}^{0}· 1^{4}· (x + 1)^{0}=1$，
所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=16 - a_{0}=15$。

16. (多选题)(2025·江苏常州模拟)若 $ (1 - 2x)^{2025}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+·s +a_{2025}x^{2025} $，则(AC)

A.$ a_{0}=1 $
B.$ a_{0}+a_{1}+a_{2}+·s +a_{2025}=1 $
C.$ |a_{0}|+|a_{1}|+|a_{2}|+·s +|a_{2025}|=3^{2025} $
D.$ \frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{2^{3}}+·s +\frac{a_{2025}}{2^{2025}}=0 $
左边 $ = a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+·s +a_{2024}-a_{2025} $

答案： 16.AC 解析：令$x = 0$，得$1^{2025}=a_{0}$，故$a_{0}=1$，选项A正确；
令$x = 1$得，$(1 - 2)^{2025}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+·s +a_{2025}$，故$a_{0}+a_{1}+a_{2}+·s +a_{2025}=-1$，选项B错误；
二项式$(1 - 2x)^{2025}$展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{2025}^{k}(-2x)^{k}=C_{2025}^{k}(-2)^{k}x^{k}$，
$\therefore a_{k}=C_{2025}^{k}(-2)^{k}$，
当$k$为偶数时，$a_{k}＞0$，当$k$为奇数时，$a_{k}＜0$，
令$x = - 1$得，$3^{2025}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+·s +a_{2024}-a_{2025}=\vert a_{0}\vert+\vert a_{1}\vert+\vert a_{2}\vert+·s +\vert a_{2024}\vert-\vert a_{2025}\vert$，选项C正确；
令$x=\frac{1}{2}$得，$0=a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{2^{3}}+·s +\frac{a_{2025}}{2^{2025}}$，
$\because a_{0}=1$，$\therefore \frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{2^{3}}+·s +\frac{a_{2025}}{2^{2025}}=-1$，选项D错误。

17. (2025·河北衡水模拟)已知 $ (1-\frac{1}{4}x)^{5}=a_{0}+a_{1}(x + 1)+a_{2}(x + 1)^{2}+a_{3}(x + 1)^{3}+·s +a_{7}(x + 1)^{7} $，则 $ a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+·s +7a_{7}= $-\frac{5}{4}。

答案： 17.$-\frac{5}{4}$ 解析：对$(1-\frac{1}{4}x)^{5}=a_{0}+a_{1}(x + 1)+a_{2}(x + 1)^{2}+a_{3}(x + 1)^{3}+·s +a_{7}(x + 1)^{7}$两边求导，得$-\frac{5}{4}(1-\frac{1}{4}x)^{4}=a_{1}+2a_{2}(x + 1)+3a_{3}(x + 1)^{2}+·s +7a_{7}(x + 1)^{6}$。令$x = 0$，得$a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+·s +7a_{7}=-\frac{5}{4}$。