《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

6. (2025·浙江温州模拟)某投资公司在今年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 40%，也可能亏损 10%，且这两种情况发生的概率分别为 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{2}{5}$；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能亏损 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 $\frac{3}{5}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{15}$.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为 $\xi_{1}$ 万元和 $\xi_{2}$ 万元.
(1)试分别写出随机变量 $\xi_{1}$ 和 $\xi_{2}$ 的分布列；
(2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由.

答案：
6.解:
(1)由题意可知,随机变量$\xi_1$和$\xi_2$的分布列分别为

(2)$E(\xi_1)=400×\frac{3}{5}+(-100)×\frac{2}{5}=200(万元)$,
$E(\xi_2)=500×\frac{3}{5}+(-300)×\frac{1}{3}+0×\frac{1}{15}=200(万元)$,
又$D(\xi_1)=(400 - 200)^{2}×\frac{3}{5}+(-100 - 200)^{2}×\frac{2}{5}=60000$,
$D(\xi_2)=(500 - 200)^{2}×\frac{3}{5}+(-300 - 200)^{2}×\frac{1}{3}+(0 -200)^{2}×\frac{1}{15}=140000$,
因为$E(\xi_1)=E(\xi_2),D(\xi_1)＜D(\xi_2)$,说明项目一、项目二获
利的均值相等,但由于项目一的获利更稳定,所以该投资公司
投资项目一更合理.

7. (2025·广东深圳模拟)新高考数学试卷出现多项选择题，每小题的四个选项中，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.若正确答案为两项，每对一项得 3 分；若正确答案为三项，每对一项得 2 分.
(1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了(不选)和错误判断的概率如下表：

若此题的正确选项为 AC，求学生甲答此题得分 X 的分布列.
(2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为 p，正确答案是三个选项的概率为 $1 - p(0\lt p\lt1)$.现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：
方案一：随机选一个选项：方案二：随机选两个选项.
①若 $p=\frac{1}{2}$，且学生乙选择方案一，分别求学生乙本题得 0 分、得 2 分的概率.
②以本题得分的数学期望为决策依据，p 的取值在什么范围内唯独选择方案一最好？
(2)①分正确答案是两个或三个选项，利用古典概型求解；
②分别计算方案一、方案二的数学期望，列不等式求 p 的取值范围.

答案：
7.解:
(1)因为正确选项为$AC$,所以$X$的可能取值为$0,3,6$,
得$3$分即只选对了$A$或只选对了$C$,
$P(X = 3)=0.8×(1 - 0.6)×(1 - 0.2)×(1 - 0.2)+(1 - 0.8)×0.6×(1 - 0.2)×(1 - 0.2)=0.2816$,
得$6$分即选对了$A$和$C$,且没选$B$和$D$,
$P(X = 6)=0.8×(0.7 + 0.1)×0.6×(0.5 + 0.3)=0.3072$.
所以$P(X = 0)=1 - 0.2816 - 0.3072 = 0.4112$.
所以学生甲答此题得分$X$的分布列为

(2)①记$X$为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”,
$P(X = 0)=\frac{1}{2}×\frac{\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{4}^{2}}+\frac{1}{2}×\frac{\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{4}^{2}}=\frac{3}{8}$,
$P(X = 2)=\frac{1}{2}×\frac{\mathrm{C}_{3}^{3}}{\mathrm{C}_{4}^{2}}=\frac{3}{8}$
②对于方案一:记$\xi$为“从四个选项中随机选择一个选项的得
分”,则$\xi$的所有可能取值为$0,2,3$,则
$P(\xi = 0)=p×\frac{\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{4}^{2}}+(1 - p)×\frac{\mathrm{C}_{1}^{1}\mathrm{C}_{1}^{1}}{\mathrm{C}_{4}^{2}}=\frac{1 + p}{4}$,
$P(\xi = 2)=(1 - p)×\frac{\mathrm{C}_{3}^{3}}{\mathrm{C}_{4}^{2}}=\frac{3}{8}(1 - p)$,
$P(\xi = 3)=p×\frac{\mathrm{C}_{4}^{1}\mathrm{C}_{2}^{1}}{\mathrm{C}_{4}^{2}}=\frac{1}{2}p$.
所以$E(\xi)=0×\frac{1 + p}{4}+2×\frac{3}{8}(1 - p)+3×\frac{1}{2}p=\frac{3}{2}$.
对于方案二:记$\epsilon$为“从四个选项中随机选择两个选项的得
分”,则$\epsilon$的所有可能取值为$0,4,6$,则
$P(\epsilon = 0)=p×\frac{\mathrm{C}_{2}^{2}-1}{\mathrm{C}_{4}^{2}}+(1 - p)×\frac{\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{1}^{1}}{\mathrm{C}_{4}^{2}}=\frac{1}{3}p+\frac{1}{2}$,
$P(\epsilon = 4)=(1 - p)×\frac{\mathrm{C}_{3}^{2}-1}{\mathrm{C}_{4}^{2}}=\frac{1}{2}(1 - p)$,
$P(\epsilon = 6)=p×\frac{1}{\mathrm{C}_{4}^{2}}=\frac{1}{6}p$.
所以$E(\epsilon)=0×(\frac{1}{3}p+\frac{1}{2})+4×\frac{1}{2}(1 - p)+6×\frac{1}{6}p=2 - p$.
要使唯独选择方案一最好,则$\begin{cases}2 - p＜\frac{3}{2}\\0＜p＜1\end{cases}$,
解得$\frac{1}{2}＜p＜1$,故$p$的取值范围是$(\frac{1}{2},1)$.