《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

8. (2025·广东汕头模拟)一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个(白球不少于2个且不多于5个)，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为$\frac{6}{7}$，则口袋中白球的个数为3.

答案： 8.3 解析：设口袋中有白球x个$(2\leq x\leq5)，$由题意可知取到
白球个数X服从参数为7,x,2的超几何分布，所以E(X))=
$\frac{2x}{7}=\frac{6}{7}，$解得x=3，则口袋中白球的个数为3.

9. (2025·江苏镇江模拟)“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布.两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量$X$，求$X$的分布列.

答案： 9.解：
(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结
果是(石头,石头)，(石头,剪刀)，(石头,布)，(剪刀,石头)，
(剪刀,剪刀)，(剪刀,布)，(布,石头)，(布,剪刀)，(布,布)，共
9个样本点.其中玩家甲胜玩家乙的样本点分别是(石头,剪
刀)，(剪刀,布)，(布,石头)，共有3个.所以在1次游戏中玩
家甲胜玩家乙的概率$P=\frac{1}{3}.$
(2)由题意知X的可能取值为0,1,2,3，且$X\sim B(3,\frac{1}{3}).$
因为$P(X=0)=\mathrm{C}_{3}^{0}×(\frac{1}{3})^{0}×(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{27}，$
$P(X=1)=\mathrm{C}_{3}^{1}×(\frac{1}{3})^{1}×(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{9}，$
$P(X=2)=\mathrm{C}_{3}^{2}×(\frac{1}{3})^{2}×(\frac{2}{3})^{1}=\frac{2}{9}，$
$P(X=3)=\mathrm{C}_{3}^{3}×(\frac{1}{3})^{3}×(\frac{2}{3})^{0}=\frac{1}{27}.$
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
$P \frac{8}{27} \frac{4}{9} \frac{2}{9} \frac{1}{27}$
$\thereforeE(X)=0×\frac{1}{14}+1×\frac{8}{21}+2×\frac{3}{7}+3×\frac{4}{35}+4×\frac{1}{210}=\frac{8}{5}$
（或者用公式$E(X)=\frac{4×4}{10}=\frac{8}{5}）.$

10. (2025·四川达州模拟)年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球(绿球的个数最多)，消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是$\frac{1}{3}$，某消费者抽奖一次.
(1)求其获得一等奖的概率；
(2)记抽到的绿球个数为$\xi$，求$\xi$的分布列及其期望.

答案： 10.解：
(1)设10个小球中黄球为m个，绿球为n个，且n＞m，
$m\in N^*,n\in N^*，$
由题意得，$\frac{\mathrm{C}_{m}^{1}·\mathrm{C}_{n}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{2}}=\frac{1}{3}，$解得m=3,n=5，则黄球有3个，绿
球有5个，红球有2个.
记事件A：某消费者抽奖一次获得一等奖，则$P(A)=\frac{\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{2}}$
$=\frac{1}{45}，$
所以该消费者获得一等奖的概率为$\frac{1}{45}.$
(2)由题意，$\xi$的可能取值是0,1,2，则$P(\xi=0)=\frac{\mathrm{C}_{2}^{0}\mathrm{C}_{8}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{2}}=\frac{2}{9}，$
$P(\xi=1)=\frac{\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{C}_{8}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{2}}=\frac{5}{9}，$$P(\xi=2)=\frac{\mathrm{C}_{2}^{2}\mathrm{C}_{8}^{0}}{\mathrm{C}_{10}^{2}}=\frac{2}{9}.$
所以$\xi$的分布列为
$\xi 0 1 2$
$P \frac{2}{9} \frac{5}{9} \frac{2}{9}$
所以$E(\xi)=0×\frac{2}{9}+1×\frac{5}{9}+2×\frac{2}{9}=1.$

11. (2025·山东菏泽模拟)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量$X$的分布列；
(2)该同学能及格的概率.

答案： 11.解：
(1)X的可能取值为0,1,2,3，且服从超几何分布，
则$P(X=k)=\frac{\mathrm{C}_{6}^{k}\mathrm{C}_{4}^{3-k}}{\mathrm{C}_{10}^{3}},k=0,1,2,3，$
$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}_{6}^{0}\mathrm{C}_{4}^{3}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{30}，$
$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_{6}^{1}\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{3}{10}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}_{6}^{2}\mathrm{C}_{4}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{2}，$
$P(X=3)=\frac{\mathrm{C}_{6}^{3}\mathrm{C}_{4}^{0}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{6}.$
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
$P \frac{1}{30} \frac{3}{10} \frac{1}{2} \frac{1}{6}$
(2)该同学能及格的概率$P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3))$
$=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}.$