《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2025·山东潍坊一模)某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛.决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为$\frac{2}{3}$，且各局比赛的结果相互独立，则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是(D)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 1.D 解析：设甲获胜为事件A，甲第一局获胜为事件B，
则$P(A)=\frac{2}{3} × \frac{2}{3} × \frac{2}{3} × \frac{1}{3} × \frac{2}{3} × \frac{1}{3} × \frac{2}{3} × \frac{2}{3} × \frac{2}{3} = \frac{20}{27}$，
$P(AB)=\frac{2}{3} × \frac{2}{3} × \frac{2}{3} × \frac{1}{3} × \frac{2}{3} × \frac{16}{27}$（此处原解析$P(AB)$计算过程应修正为$\frac{2}{3} × \frac{2}{3} × \frac{2}{3} × \frac{1}{3} × \frac{2}{3}=\frac{16}{27}$ 存在笔误，按正确计算逻辑应为$P(AB)=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{16}{243}$ 不影响后续条件概率计算思路，按原文识别）$\frac{16}{27}$。
所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{16}{27}}{\frac{20}{27}}=\frac{4}{5}$。

2. 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题，则可通过；若至少能答对其中5道题，则获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率.

答案： 2.解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另1道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则事件A，B，C两两互斥，且$D = A \cup B \cup C$，$E = A \cup B$，
由古典概型的概率公式及加法公式可知$P(D)=P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=\frac{C_{10}^{6}}{C_{20}^{6}}+\frac{C_{10}^{5}C_{10}^{1}}{C_{20}^{6}}+\frac{C_{10}^{4}C_{10}^{2}}{C_{20}^{6}}=\frac{12180}{C_{20}^{6}}$，
$P(AD)=P(A)$，$P(BD)=P(B)$，
$P(E|D)=P(A \cup B|D)=P(A|D)+P(B|D)$，
所以$P(E|D)=\frac{P(A)}{P(D)}+\frac{P(B)}{P(D)}=\frac{\frac{C_{10}^{6}}{C_{20}^{6}}+\frac{C_{10}^{5}C_{10}^{1}}{C_{20}^{6}}}{\frac{12180}{C_{20}^{6}}}=\frac{13}{58}$。
故所求概率为$\frac{13}{58}$。

3. 设10支签中有4支上上签.甲、乙、丙依次不放回地抽取，求各人抽到上上签的概率.

答案： 3.解：分别用事件A，B，C表示“甲、乙、丙抽到上上签”。
则$P(A)=\frac{4}{10}=0.4$，
$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=\frac{4}{10} × \frac{3}{9}+\frac{6}{10} × \frac{4}{9}=\frac{36}{90}=0.4$，
$P(C)=P(AB)P(C|AB)+P(A\overline{B})P(C|A\overline{B})+P(\overline{A}B)P(C|\overline{A}B)+P(\overline{A}\overline{B})P(C|\overline{A}\overline{B})$
$=P(A)P(B|A)P(C|AB)+P(A)P(\overline{B}|A)P(C|A\overline{B})+P(\overline{A})P(B|\overline{A})P(C|\overline{A}B)+P(\overline{A})P(\overline{B}|\overline{A})P(C|\overline{A}\overline{B})$
$=\frac{4}{10} × \frac{3}{9} × \frac{2}{8}+\frac{4}{10} × \frac{6}{9} × \frac{3}{8}+\frac{6}{10} × \frac{4}{9} × \frac{3}{8}+\frac{6}{10} × \frac{5}{9} × \frac{4}{8}$
$=\frac{288}{720}=0.4$。

4. (2025·山西太原模拟)甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.

答案： 4.解：设$B =$“飞机被击落”，$A_{i}=$“飞机被$i$人击中”，$i = 1,2,3$，
则$B = A_{1}B + A_{2}B + A_{3}B$，
依题意，得$P(B|A_{1}) = 0.2$，$P(B|A_{2}) = 0.6$，$P(B|A_{3}) = 1$。
由全概率公式得$P(B)=P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})+P(A_{3})P(B|A_{3})$。
设$H_{i}=$“飞机被第$i$人击中”，$i = 1,2,3$，
则$P(A_{1})=P(H_{1}\overline{H_{2}}\overline{H_{3}}+\overline{H_{1}}H_{2}\overline{H_{3}}+\overline{H_{1}}\overline{H_{2}}H_{3})$，
$P(A_{2})=P(H_{1}H_{2}\overline{H_{3}}+\overline{H_{1}}H_{2}H_{3}+H_{1}\overline{H_{2}}H_{3})$，
$P(A_{3})=P(H_{1}H_{2}H_{3})$。
又$P(H_{1}) = 0.4$，$P(H_{2}) = 0.5$，$P(H_{3}) = 0.7$，
所以$P(A_{1}) = 0.36$，$P(A_{2}) = 0.41$，$P(A_{3}) = 0.14$，
则$P(B)=P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})+P(A_{3})P(B|A_{3})=0.36 × 0.2+0.41 × 0.6+0.14 × 1 = 0.458$。
即飞机被击落的概率为$0.458$。