《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例1-1（2025·内蒙古包头月考）请写出$(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^{4}$的展开式.$a = 2\sqrt{x},b = -\frac{1}{\sqrt{x}},n = 4,^{4}\sqrt{(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})}$

答案： $(2\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^{4}$ 的展开式如下：
$\begin{aligned}(2\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^{4} &= C_{4}^{0}(2\sqrt{x})^{4}( - \frac{1}{\sqrt{x}})^{0} + C_{4}^{1}(2\sqrt{x})^{3}( - \frac{1}{\sqrt{x}})^{1} + C_{4}^{2}(2\sqrt{x})^{2}( - \frac{1}{\sqrt{x}})^{2} \\& \quad + C_{4}^{3}(2\sqrt{x})^{1}( - \frac{1}{\sqrt{x}})^{3} + C_{4}^{4}(2\sqrt{x})^{0}( - \frac{1}{\sqrt{x}})^{4} \\&= 1 × 16x^{2} × 1 + 4 × 8x\sqrt{x} × ( - \frac{1}{\sqrt{x}}) + 6 × 4x × \frac{1}{x} + 4 × 2\sqrt{x} ×( - \frac{1}{x\sqrt{x}}) + 1 × 1 × \frac{1}{x^{2}} \\& = 16x^{2} - 32x + 24 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}\end{aligned}$
综上所述，本题正确答案为：$16x^{2} - 32x + 24 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}$。

例1-2 有二项式$(3\sqrt{x}-\frac{2}{3x})^{10}$.
（1）求展开式中的第4项的二项式系数；定值：$C_{10}^{3}$.
（2）求展开式中第4项的系数；即$T_{4}$的系数.
（3）求第4项.$T_{4}=T_{3 + 1}=C_{10}^{3}(3\sqrt{x})^{10 - 3}(-\frac{2}{3x})^{3}$.

答案： （1）120
（2）-77760
（3）-77760√x