《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2025·湖北武汉模拟) 质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检. 若第一次打击后该构件没有受损的概率为 0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为 0.80，则该构件通过质检的概率为(C)

A.0.4
B.0.16
C.0.68
D.0.17

答案： 1.C 解析:设$A_i$表示第$i$次打击后该构件没有受损,$i=1,2$，
则由已知可得$P(A_1)=0.85$,$P(A_2|A_1)=0.8$，
所以由乘法公式可得$P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)=0.85 × 0.8=0.68$，即该构件通过质检的概率是$0.68$。

2. (2025·河北石家庄模拟) 已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为 $ \frac{4}{5} $，该篮球运动员某次练习中共罚球 3 次，已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为(B)

A.$ \frac{4}{5} $
B.$ \frac{48}{61} $
C.$ \frac{52}{61} $
D.$ \frac{9}{10} $

答案： 2.B 解析:令事件$A$为“该运动员没有全部命中”，事件$B$为“恰好命中两次”，则$P(A)=1-(\frac{4}{5})^3=\frac{61}{125}$,$P(B)=C_3^2 × \frac{1}{5} × (\frac{4}{5})^2=\frac{48}{125}$，
由条件概率知所求概率为$P(B|A)=\frac{P(BA)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}=\frac{48}{61}$。

3. (2025·福建泉州模拟) 某学校有 A，B 两家餐厅，王同学第 1 天选择 B 餐厅就餐的概率是 $ \frac{1}{3} $，若第 1 天选择 A 餐厅就餐，则第 2 天选择 A 餐厅就餐的概率为 $ \frac{4}{5} $；若第 1 天选择 B 餐厅就餐，则第 2 天选择 A 餐厅就餐的概率为 $ \frac{3}{5} $. 已知王同学第 2 天是去 A 餐厅就餐，则第 1 天去 A 餐厅就餐的概率为(B)

A.$ \frac{3}{11} $
B.$ \frac{8}{11} $
C.$ \frac{1}{5} $
D.$ \frac{1}{3} $

答案： 3.B 解析:设$A_i$=“王同学第$i$天去$A$餐厅就餐”，$B_i$=“王同学第$i$天去$B$餐厅就餐”，$i=1,2$。
依题意，$P(B_1)=\frac{1}{3}$,$P(A_2|A_1)=\frac{4}{5}$,$P(A_2|B_1)=\frac{3}{5}$，
则$P(A_1)=\frac{2}{3}$。
由$P(A_2|A_1)=\frac{P(A_2A_1)}{P(A_1)}=\frac{4}{5}$，有$P(A_2A_1)=\frac{8}{15}$。
因为$A_2=A_1A_2 \cup B_1A_2$，
所以$P(A_2)=P(A_1A_2 \cup B_1A_2)=P(A_1A_2)+P(B_1A_2)$
$=P(A_1)P(A_2|A_1)+P(B_1)P(A_2|B_1)$
$=\frac{2}{3} × \frac{4}{5}+\frac{1}{3} × \frac{3}{5}=\frac{11}{15}$，
所以$P(A_1|A_2)=\frac{P(A_2A_1)}{P(A_2)}=\frac{\frac{8}{15}}{\frac{11}{15}}=\frac{8}{11}$。

4. (2022·天津卷) 52 张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到 A 的概率为$\frac{1}{221}$；已知第一次抽到的是 A，则第二次抽取 A 的概率为$\frac{1}{17}$.

答案： 4.$\frac{1}{221}$ $\frac{1}{17}$ 解析:由题意，设第一次抽到$A$为事件$B$，第二次抽到$A$为事件$C$，则$P(BC)=\frac{4}{52} × \frac{3}{51}=\frac{1}{221}$,$P(B)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$,$P(C|B)=\frac{P(BC)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{221}}{\frac{1}{13}}=\frac{1}{17}$。

(2025·江西南昌模拟) 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐. 已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，他第一天选择米饭套餐的概率为 $ \frac{2}{3} $，而前一天选择米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为 $ \frac{1}{4} $，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为 $ \frac{1}{2} $，如此往复.
(1) 求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率.
(2) 记该同学第 $ n $ 天选择米饭套餐的概率为 $ P_n $.
① 证明：$ \{ P_n - \frac{2}{5} \} $ 为等比数列.
② 当 $ n \geq 2 $ 时，$ P_n \leq m $ 恒成立，求 $ m $ 的取值范围.

答案：
(1)解:设$A_1$为“第一天选择米饭套餐”，$A_2$为“第二天选择米饭套餐”，则$\overline{A_1}$为“第一天不选择米饭套餐”。
根据题意，得$P(A_1)=\frac{2}{3}$,$P(\overline{A_1})=\frac{1}{3}$,$P(A_2|A_1)=\frac{1}{4}$,$P(A_2|\overline{A_1})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
由全概率公式，得$P(A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)+P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1})=\frac{2}{3} × \frac{1}{4}+\frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{1}{3}$。
(2)①证明:设$A_n$为“第$n$天选择米饭套餐”，则$P_n=P(A_n)$，$P(\overline{A_n})=1-P_n$。
根据题意，得$P(A_{n+1}|A_n)=\frac{1}{4}$,$P(A_{n+1}|\overline{A_n})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
由全概率公式，得$P_{n+1}=P(A_{n+1})=P(A_n)P(A_{n+1}|A_n)+P(\overline{A_n})P(A_{n+1}|\overline{A_n})=\frac{1}{4}P_n+\frac{1}{2}(1-P_n)=-\frac{1}{4}P_n+\frac{1}{2}$，
因此$P_{n+1}-\frac{2}{5}=-\frac{1}{4}(P_n-\frac{2}{5})$，因为$P_1-\frac{2}{5}=\frac{4}{15} \neq 0$，
所以$\{P_n-\frac{2}{5}\}$是以$\frac{4}{15}$为首项，$-\frac{1}{4}$为公比的等比数列。
②解:由①可得$P_n=\frac{2}{5}+\frac{4}{15} × (-\frac{1}{4})^{n-1}$
当$n$为大于$1$的奇数时，$P_n=\frac{2}{5}+\frac{4}{15} × (\frac{1}{4})^{n-1} \leq \frac{2}{5}+\frac{4}{15} × (\frac{1}{4})^2=\frac{5}{12}$；
当$n$为正偶数时，$P_n=\frac{2}{5}-\frac{4}{15} × (\frac{1}{4})^{n-1}＜\frac{2}{5}＜\frac{5}{12}$；
因此，当$n \geq 2$时，$P_n \leq \frac{5}{12} \leq m$，所以$m \in [\frac{5}{12},+\infty)$。