《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

3. (2025·山东济南模拟)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 $\frac{7}{8}$，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 $\frac{1}{2}$。已知输入的问题表达不清晰的概率为 $\frac{1}{5}$。
(1) 求智能客服的回答被采纳的概率；
(2) 在某次测试中输入了 3 个问题(3 个问题相互独立)，设 $X$ 表示智能客服的回答被采纳的次数。求 $X$ 的分布列、期望及方差。

答案： 解：
(1)设$A=$“智能客服的回答被采纳”，$B=$“输入的问题表达不清晰”.依题意，$P(B)=\frac{1}{5},P(\overline{B})=\frac{4}{5},P(A|B)=\frac{1}{2}$，$P(A|\overline{B})=\frac{7}{8}$.
因此$P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=\frac{1}{5}×\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{7}{8}=\frac{4}{5}$.
所以智能客服的回答被采纳的概率为$\frac{4}{5}$.
(2)依题意，$X$的所有可能取值为0,1,2,3,$X\sim B(3,\frac{4}{5})$，
$P(X=0)=C_{3}^{0}(\frac{4}{5})^{0}(\frac{1}{5})^{3}=\frac{1}{125}$，
$P(X=1)=C_{3}^{1}(\frac{4}{5})^{1}(\frac{1}{5})^{2}=\frac{12}{125}$，
$P(X=2)=C_{3}^{2}(\frac{4}{5})^{2}(\frac{1}{5})^{1}=\frac{48}{125}$，
$P(X=3)=C_{3}^{3}(\frac{4}{5})^{3}(\frac{1}{5})^{0}=\frac{64}{125}$.
所以$X$的分布列为
$X$ 0 1 2 3
$P$ $\frac{1}{125}$ $\frac{12}{125}$ $\frac{48}{125}$ $\frac{64}{125}$
所以$E(X)=3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$,$D(X)=3×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}=\frac{12}{25}$.
高中数学·选择性必修第三册(RJA)

4. (2025·山东临沂模拟)一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有 5 个红绿灯，假设他在各红绿灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 $\frac{1}{3}$。
(1) 求这名学生在途中遇到红灯的次数 $\xi$ 的均值；
(2) 求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数 $\eta$ 的分布列；
(3) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。

答案： 解：由题意知，这名学生在各红绿灯遇到绿灯的概率都是$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
(1)方法一：由$\xi\sim B(5,\frac{1}{3})$，得$P(\xi=k)=C_{5}^{k}×(\frac{1}{3})^{k}×(\frac{2}{3})^{5-k},k=0,1,2,3,4,5$.
则$P(\xi=0)=C_{5}^{0}×(\frac{1}{3})^{0}×(\frac{2}{3})^{5}=\frac{32}{243}$，
$P(\xi=1)=C_{5}^{1}×\frac{1}{3}×(\frac{2}{3})^{4}=\frac{80}{243}$，
$P(\xi=2)=C_{5}^{2}×(\frac{1}{3})^{2}×(\frac{2}{3})^{3}=\frac{80}{243}$，
$P(\xi=3)=C_{5}^{3}×(\frac{1}{3})^{3}×(\frac{2}{3})^{2}=\frac{40}{243}$，
$P(\xi=4)=C_{5}^{4}×(\frac{1}{3})^{4}×\frac{2}{3}=\frac{10}{243}$，
$P(\xi=5)=C_{5}^{5}×(\frac{1}{3})^{5}×(\frac{2}{3})^{0}=\frac{1}{243}$.
故$\xi$的分布列为
$\xi$ 0 1 2 3 4 5
$P$ $\frac{32}{243}$ $\frac{80}{243}$ $\frac{80}{243}$ $\frac{40}{243}$ $\frac{10}{243}$ $\frac{1}{243}$
$\therefore E(\xi)=0×\frac{32}{243}+1×\frac{80}{243}+2×\frac{80}{243}+3×\frac{40}{243}+4×\frac{10}{243}+5×\frac{1}{243}=\frac{5}{3}$.
方法二：$\because\xi\sim B(5,\frac{1}{3})$,$\therefore E(\xi)=5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$.
(2)$P(\eta=k)=P($前$k$个是绿灯，第$k+1$个是红灯)$=(\frac{2}{3})^{k}×\frac{1}{3},k=0,1,2,3,4,\eta=5$时，5个均为绿灯.
即$P(\eta=0)=(\frac{2}{3})^{0}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$,$P(\eta=1)=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，
$P(\eta=2)=(\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$,$P(\eta=3)=(\frac{2}{3})^{3}×\frac{1}{3}=\frac{8}{81}$，
$P(\eta=4)=(\frac{2}{3})^{4}×\frac{1}{3}=\frac{16}{243}$,$P(\eta=5)=(\frac{2}{3})^{5}×(\frac{1}{3})^{0}=\frac{32}{243}$.
故$\eta$的分布列为
$\eta$ 0 1 2 3 4 5
$P$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{9}$ $\frac{4}{27}$ $\frac{8}{81}$ $\frac{16}{243}$ $\frac{32}{243}$
(3)所求概率为$P(\xi\geq1)=1-P(\xi=0)=1-(\frac{2}{3})^{5}=\frac{211}{243}$.

5. (2025·河北保定模拟)某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题。对于每一个问题，若回答错误得 0 分；若回答正确，填空题得 30 分，选择题得 20 分。现设置了两种活动方案供选手选择。方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上一题回答错误，则下一次选择选择题。已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为 $\frac{1}{3}$，能正确回答选择题的概率均为 $\frac{2}{3}$，且能正确回答问题的概率与回答次序无关。
(1) 若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于 60 分的概率；
(2) 分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利。

答案： 解：
(1)甲同学采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题，
$\therefore$其概率$P=C_{3}^{2}(\frac{1}{3})^{2}×\frac{2}{3}+C_{3}^{3}(\frac{1}{3})^{3}=\frac{7}{27}$.
(2)乙同学选择方案二参加比赛更加有利.理由如下：
若采用方案一，则其得分$X$的可能取值为0,30,60,90，
$\therefore P(X=0)=C_{3}^{0}×(\frac{1}{3})^{0}×(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{27}$，
$P(X=30)=C_{3}^{1}×(\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{3}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$，
$P(X=60)=C_{3}^{2}×(\frac{1}{3})^{2}×\frac{2}{3}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$，
$P(X=90)=C_{3}^{3}×(\frac{1}{3})^{3}×(\frac{1}{3})^{0}=\frac{1}{27}$.
$\therefore X$的分布列为
$X$ 0 30 60 90
$P$ $\frac{8}{27}$ $\frac{4}{9}$ $\frac{2}{9}$ $\frac{1}{27}$
$\therefore X$的数学期望$E(X)=0×\frac{8}{27}+30×\frac{4}{9}+60×\frac{2}{9}+90×\frac{1}{27}=30$.
若采用方案二，则其得分$Y$的可能取值为0,20,30,50,60,90，
$\therefore P(Y=0)=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{27}$，
$P(Y=20)=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{12}{4}×\frac{4}{9}$，
$P(Y=30)=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{27}$，
$P(Y=50)=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{8}{27}$，
$P(Y=60)=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{27}$，
$P(Y=90)=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{27}$.
$\therefore Y$的分布列为
$Y$ 0 20 30 50 60 90
$P$ $\frac{2}{27}$ $\frac{4}{9}$ $\frac{2}{27}$ $\frac{8}{27}$ $\frac{2}{27}$ $\frac{1}{27}$
$\therefore Y$的数学期望$E(Y)=0×\frac{2}{27}+20×\frac{4}{9}+30×\frac{2}{27}+50×\frac{8}{27}+60×\frac{2}{27}+90×\frac{1}{27}=\frac{910}{27}$.
$\therefore E(Y)＞E(X)$，
$\therefore$乙同学选择方案二参加比赛更加有利.

6. (2025·河北保定检测)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层随机抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 16 件和 5 件，测量产品中微量元素 $x$，$y$ (单位：毫克)的含量。已知甲厂生产的产品共有 96 件，下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：

(1) 求乙厂生产的产品数量；
(2) 当产品中的微量元素 $x$，$y$ 满足 $x\geq175$ 且 $y\geq75$ 时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3) 从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 $\xi$ 的分布列，并求抽取的 2 件产品中至少有一件优等品的概率。

答案： 解：
(1)设乙厂生产的产品为$m$件.
依题意，得$\frac{16}{96}=\frac{5}{m}$，解得$m=30$.
故乙厂生产的产品数量为30件.
(2)由表可知从乙厂抽取的5件产品中，微量元素$x,y$满足$x\geq175$且$y\geq75$的产品只有2件，即乙厂生产的产品中的优等品率为$\frac{2}{5}$，
所以乙厂生产的优等品的数量约为$30×\frac{2}{5}=12$(件).
(3)依题意，知$\xi$服从超几何分布，其中$N=5,M=2,n=2$，$\xi$的可能取值为0,1,2，
则$P(\xi=0)=\frac{C_{3}^{2}C_{2}^{0}}{C_{5}^{2}}=\frac{3}{10}$,$P(\xi=1)=\frac{C_{2}^{1}C_{3}^{1}}{C_{5}^{2}}=\frac{3}{5}$，
$P(\xi=2)=\frac{C_{2}^{2}C_{3}^{0}}{C_{5}^{2}}=\frac{1}{10}$，
所以$\xi$的分布列为
$\xi$ 0 1 2
$P$ $\frac{3}{10}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{10}$
由分布列可知抽取的2件产品中至少有一件优等品，即$\xi\geq1$概率$P(\xi\geq1)=1-P(\xi=0)=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$，即所求概率为$\frac{7}{10}$.