《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

9.设X~N(1,4),试求:
(1)P(−1≤X≤3);(2)P(−1≤X≤1);
(3)P(3＜X＜5);(4)P(X＞5).
利P(丛−σ≤X≤丛+σ)即可求解(1),
再根据正态曲线的对称性可求解(2)),
(3)'(4).另外，在求解过程中,以巧妙利
用前面小问的结果;快速得出答案.

答案： 9.解:易知$X \sim N(1, 2^2)$，$\therefore \mu = 1$，$\sigma = 2$.
(1)$P(-1 \leqslant X \leqslant 3) = P(1 - 2 \leqslant X \leqslant 1 + 2) = P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0.6827$.
(2)$\because$该正态曲线关于直线$x = 1$对称，$\therefore$结合图象可知$P(-1 \leqslant X \leqslant 1) = \frac{1}{2}P(-1 \leqslant X \leqslant 3) \approx \frac{1}{2} × 0.6827 = 0.34135$.
(3)$\because P(3 ＜ X ＜ 5) = P(-3 ＜ X ＜ -1)$，$\therefore P(3 ＜ X ＜ 5) = \frac{1}{2}[P(-3 ＜ X ＜ 5) - P(-1 \leqslant X \leqslant 3)] = \frac{1}{2}[P(1 - 4 ＜ X ＜ 1 + 4) - P(1 - 2 \leqslant X \leqslant 1 + 2)] = \frac{1}{2}[P(\mu - 2\sigma ＜ X ＜ \mu + 2\sigma) - P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma)] \approx \frac{1}{2} × (0.9545 - 0.6827) = 0.1359$.
(4)$\because P(X ＞ 5) = P(X ＜ -3)$，$\therefore P(X ＞ 5) = \frac{1}{2}[1 - P(-3 \leqslant X \leqslant 5)] = \frac{1}{2}[1 - P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma)] \approx \frac{1}{2} × (1 - 0.9545) = 0.02275$.

10.(2025.湖北荆州模拟)法国数学家庞加莱是个喜
欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一
个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包
的平均质量是1000g,上下浮动不超过50g.这句
话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期
望为1000g,标准差为50g的正态分布.已知如下
结论:若X~N(μ,σ²),从X的取值中随机抽取
k(k∈N,k≥2)个数据,记这k个数据的平均值
为Y,则随机变量Y~N(μ,$\frac{g²}{k}$).利用该结论解决
下面问题.
(1)假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面
包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P(Y≤
980);
(2)庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，
25天后，得到的数据都落在(950,1050)上，并经
计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱
通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱
举报该面包师的理由.
附:随机变量η服从正态分布N(μ,σ²),则P(μ一
σ＜η＜μ+σ)≈0.6827,P(μ−2o＜η＜μ+2)≈
0.9545,P(μ−3o＜η＜μ+3σ)≈0.9973.
若随机变量服从正态分布N(u，O),由此作假设检验时，按如下步骤进行:
(1)确定一次试验中的取值a是否落入范围
[u−30,u+3σ]内;
(2)作出判断，若a∈[丛−3σ,L+3σ],则接受统计ī假设;若a[u−3σ,L+30]，则拒绝统计假设.

答案： 10.解:
(1)因为$\frac{50^2}{25} = 100$，所以$Y \sim N(1000, 10^2)$.
因为$P(\mu - 2\sigma \leqslant \eta \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0.9545$，所以$P(\eta \leqslant \mu - 2\sigma) \approx \frac{1 - 0.9545}{2} = 0.02275$.
因为$980 = 1000 - 2 × 10$，所以$P(Y \leqslant 980) = P(Y \leqslant \mu - 2\sigma) \approx 0.02275$.
(2)由
(1)可知$P(Y \leqslant 980) = P(Y \leqslant \mu - 2\sigma) \approx 0.02275$，庞加莱计算$25$个面包质量的平均值为$978.72g$，$978.72 ＜ 980$，而$0.02275 ＜ 0.05$，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由.

11.(全国卷I改编)为了监控某种零件的一条生产线
的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16个零件，并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生
产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的
零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ²),y
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的
16个零件中其尺寸在[μ−3y,μ+3σ]之外的零件
数,求P(X≥1)及X的数学期望.
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3o,p+3o]之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95
经计算得x=$\frac{1}{16}$≥16x;i=9..97,s= $\frac{1}{16}$(一
=x$\frac{1}{16}$ ²|16²)≈0.212,其中x为抽取
的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数x作为的估计值,用样本标准差s作为。的估计值。，利用估计值判断是否需对当
天的生产过程进行检查？剔除[−3，+3]之外的数据，用剩下的数据估计μ和。(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,²),则P(μ−3＜Z≤μ+3)≈0.9973,0.997316≈0.9577,
√0.008亽0.09. [9.334,10.606]

答案： 11.解:
(1)抽取的一个零件的尺寸在$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$之内的概率约为$0.9973$，从而零件的尺寸在$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$之外的概率约为$0.0027$，故$X \sim B(16, 0.0027)$.
因此$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) \approx 1 - 0.9973^{16} \approx 0.0423$.
$X$的数学期望为$E(X) = 16 × 0.0027 = 0.0432$.
(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$之外的概率约为$0.0027$，一天内抽取的$16$个零件中，出现尺寸在$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$之外的零件的概率约为$0.0423$，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
②由$\overline{x} = 9.97$，$s \approx 0.212$，得$\mu$的估计值$\hat{\mu} = 9.97$，$\sigma$的估计值$\hat{\sigma} \approx 0.212$，则区间$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$为$[9.334, 10.606]$.由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$之外的数据$9.22$，剩下数据的平均数为$\frac{1}{15} × (16 × 9.97 - 9.22) = 10.02$，因此$\mu$的估计值为$10.02$.
$\sum_{i = 1}^{16} x_i^2 \approx 16 × 0.212^2 + 16 × 9.97^2 \approx 1591.134$，剔除$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$之外的数据$9.22$，剩下数据的方差为$\frac{1}{15} × (1591.134 - 9.22^2 - 15 × 10.02^2) \approx 0.008$，因此$\sigma$的估计值为$\sqrt{0.008} \approx 0.09$.