《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

4. (2025·江苏泰州模拟)若 $ (x - \frac{\sqrt{a}}{x^{2}})^{6} $ 展开式中的常数项为 60，则常数 $ a $ 的值为(A)

A.4
B.5
C.6
D.8

答案： 4.A 解析：$\because (\frac{x-\sqrt{a}}{x^{2}})^{6}$展开式的通项公式为$T_{k + 1}=C_{6}^{k}x^{6 - k}· (\frac{-\sqrt{a}}{x^{2}})^{k}=C_{6}^{k}· (-\sqrt{a})^{k}· x^{6 - 3k}$，
令$6 - 3k = 0$，求得$k = 2$，可得它的常数项为$C_{6}^{2}· a = 60$，
$\therefore a = 4$。

5. (2025·上海卷)在二项式 $ (2x - 1)^{5} $ 的展开式中，$ x^{3} $ 的系数为80。

答案： 5.80 解析：由通项公式$T_{k + 1}=C_{5}^{k}· (2x)^{5 - k}· (-1)^{k}=C_{5}^{k}· (-1)^{k}· 2^{5 - k}x^{5 - k}$，令$5 - k = 3$，得$k = 2$，
可得$x^{3}$的系数为$C_{5}^{2}· (-1)^{2}· 2^{5 - 2}=80$。故答案为$80$。

6. (2025·湖南怀化模拟)$ (\sqrt{x} - \sqrt[3]{x})^{9} $ 的展开式中，含 $ x $ 的有理项共有2项。

答案： 6.2 解析：$(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x})^{9}$的展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{9}^{k}(\sqrt{x})^{9 - k}· (-1)^{k}(\sqrt[3]{x})^{k}=(-1)^{k}C_{9}^{k}x^{\frac{27 - k}{6}}(0\leqslant k\leqslant 9,k\in \mathbf{N})$，要求含$x$
的有理项，只需使$\frac{27 - k}{6}\in \mathbf{Z}$，即$4+\frac{3 - k}{6}\in \mathbf{Z}$，所以$k = 3$或$9$。
当$k = 3$时，$\frac{27 - k}{6}=4$，$T_{4}=(-1)^{3}× C_{9}^{3}x^{4}=-84x^{4}$；
当$k = 9$时，$\frac{27 - k}{6}=3$，$T_{10}=(-1)^{9}× C_{9}^{9}x^{3}=-x^{3}$，
即$(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x})^{9}$的展开式中含$x$的有理项共有$2$项。

7. 在 $ (1 + x)^{3}+(1 + \sqrt{x})^{3}+(1 + \sqrt[3]{x})^{3} $ 的展开式中，$ x $ 的系数为7。先求出每个展开式中 $ x $ 的系数，再求和。
(2) 几个多项式积的展开式中的特定项

答案： 7.7 解析：易知$(1 + x)^{3}$，$(1+\sqrt{x})^{3}$，$(1+\sqrt[3]{x})^{3}$的展开式中$x$
的系数分别是$C_{3}^{1}$，$C_{3}^{2}$，$C_{3}^{3}$，所以所求系数是$C_{3}^{1}+C_{3}^{2}+C_{3}^{3}=3 + 3 + 1 = 7$。

8. (2025·广东汕头模拟)在 $ (x - 2021)(x + 2022) · (x - 2023)(x + 2024)(x - 2025) $ 的展开式中，含 $ x^{4} $ 的项的系数是(B)

A.-2025
B.-2023
C.-2021
D.2025

答案： 8.B 解析：根据多项式的乘法，$5$个因式中，$4$个取一次项$x$，
$1$个取常数项，相乘可得$x^{4}$项.
常数项共$5$种取法，合并同类项得$x^{4}$项的系数为$-2021 + 2022 - 2023 + 2024 - 2025=-2023$。

9. (2025·山东济南模拟)已知 $ (2x - a)(x + \frac{2}{x})^{6} $ 的展开式中 $ x^{2} $ 的系数为 -240，则该多项展开式中的常数项为-640。

答案： 9.$-640$ 解析：$(x+\frac{2}{x})^{6}$的展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{6}^{k}x^{6 - k}· (\frac{2}{x})^{k}=C_{6}^{k}2^{k}x^{6 - 2k}(k = 0,1,2,3,4,5,6)$，
令$6 - 2k = 1$，得$k=\frac{5}{2}$(舍去)；令$6 - 2k = 2$，得$k = 2$.
故$(2x - a)(x+\frac{2}{x})^{6}$的展开式中$x^{2}$的系数为$-aC_{6}^{2}× 2^{2}=-240$，解得$a = 4$。
令$6 - 2k = - 1$，得$k=\frac{7}{2}$(舍去)；
令$6 - 2k = 0$，得$k = 3$.
故$(2x - 4)(x+\frac{2}{x})^{6}$的展开式中的常数项为$-4C_{6}^{3}× 2^{3}=-640$。

10. (2025·湖南益阳模拟)$ (x + y - 1)^{5} $ 的展开式中所有二次项(即含 $ x^{2},xy,y^{2} $ 的项)的系数和为(A)

A.-40
B.-20
C.0
D.40

答案： 10.A 解析：由题知，$(x + y - 1)^{5}$的展开式的通项为$C_{5}^{k}(x + y)^{5 - k}(-1)^{k},0\leqslant k\leqslant 5$。
又$(x + y)^{5 - k}$的展开式的通项为$C_{5 - k}^{r}x^{5 - k - r}y^{r},0\leqslant r\leqslant 5$，
所以$(x + y - 1)^{5}$的展开式的通项为$C_{5}^{k}· C_{5 - k}^{r}(-1)^{k}x^{5 - k - r}y^{r}$，
$0\leqslant k\leqslant 5,0\leqslant r\leqslant 5$。
令$\begin{cases}5 - k - r = 2,\\k = 3,\\r = 0,\end{cases}$
则含$x^{2}$的项的系数为$C_{5}^{3}× C_{2}^{0}× (-1)^{3}=-10$。
令$\begin{cases}5 - k - r = 1,\\k = 3,\\r = 1,\end{cases}$
则含$xy$的项的系数为$C_{5}^{3}× C_{2}^{1}× (-1)^{3}=-20$。
令$\begin{cases}5 - k - r = 0,\\k = 3,\\r = 2,\end{cases}$
所以含$y^{2}$的项的系数为$C_{5}^{3}× C_{2}^{2}× (-1)^{3}=-10$。
综上，$(x + y - 1)^{5}$的展开式中所有二次项的系数和为$-40$。

11. (2025·上海模拟)$ (\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2})^{5} $ 的展开式中的常数项为\frac{63\sqrt{2}}{2}(用数字作答)。

答案： 11.$\frac{63\sqrt{2}}{2}$ 解析：方法一：$(\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2})^{5}$在$x ＞ 0$时可化为$(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{x}})^{10}$，因而通项$T_{k + 1}=C_{10}^{k}· (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10 - k}(\sqrt{x})^{10 - 2k}$，
则当$k = 5$时为常数项，即$C_{10}^{5}· (\frac{1}{\sqrt{2}})^{5}=\frac{63\sqrt{2}}{2}$。
当$x ＜ 0$时，$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2}=-(-\frac{x}{2}-\frac{1}{x}-\sqrt{2})\leqslant -(\sqrt{2}-\sqrt{2}) = 0$，当且仅当$x = -\sqrt{2}$时取等号，则$(\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2})=-(-\frac{x}{2}-\frac{1}{x}-\sqrt{2})=-(\frac{\sqrt{-x}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{-x}})^{10}$，因而通项$T_{k + 1}=-C_{10}^{k}· (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10 - k}(-1)^{k}(\sqrt{-x})^{10 - 2k}$。
则当$k = 5$时为常数项，即$-C_{10}^{5}(\frac{1}{\sqrt{2}})^{5}(-1)^{5}=\frac{63\sqrt{2}}{2}$。
综上，常数项为$\frac{63\sqrt{2}}{2}$。
方法二：原式$=(\frac{x^{2}+2\sqrt{2}x + 2}{2x})^{5}=\frac{1}{32x^{5}}[(x+\sqrt{2})^{2}]^{5}=\frac{1}{32x^{5}}(x+\sqrt{2})^{10}$。
求原展开式中的常数项，转化为求$(x+\sqrt{2})^{10}$的展开式中含$x^{5}$的项的系数，即$C_{10}^{5}(\sqrt{2})^{5}$。
所以所求的常数项为$\frac{C_{10}^{5}(\sqrt{2})^{5}}{32}=\frac{63\sqrt{2}}{2}$。
方法三：$(\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2})=[(\frac{x}{2}+\frac{1}{x})+\sqrt{2}]$的通项为$T_{k + 1}=C_{2}^{k}· (\frac{x}{2}+\frac{1}{x})^{2 - k}· (\sqrt{2})^{k}$，$(\frac{x}{2}+\frac{1}{x})^{5 - k}$的通项为$T_{r + 1}=C_{5 - k}^{r}x^{5 - k - r}· 2^{-5 + k + r}$，
令$5 - 2r - k = 0$，则$k + 2r = 5$，可得$k = 1,r = 2$或$k = 3,r = 1$或$k = 5,r = 0$。
当$k = 1,r = 2$时，展开式中的项为$C_{2}^{1}× C_{4}^{2}× 2^{\frac{k}{2}}× 2^{-2}=\frac{15\sqrt{2}}{2}$；
当$k = 3,r = 1$时，展开式中的项为$C_{2}^{3}× C_{2}^{1}× 2\sqrt{2}× 2^{-1}=20\sqrt{2}$；
当$k = 5,r = 0$时，展开式中的项为$C_{2}^{5}× 4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
综上，$(\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2})^{5}$的展开式中的常数项为$\frac{15\sqrt{2}}{2}+20\sqrt{2}+4\sqrt{2}=\frac{63\sqrt{2}}{2}$。

12. 设 $ m $ 为正整数，$ (x + y)^{2m} $ 展开式的二项式系数的最大值为 $ a $，$ (x + y)^{2m + 1} $ 展开式的二项式系数的最大值为 $ b $，若 $ 13a = 7b $，则 $ m = $(B)

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 12.B 解析：根据二项式系数的性质，知$(x + y)^{2m}$的展开式中
二项式系数的最大值为$C_{2m}^{m}=a$，而$(x + y)^{2m + 1}$的展开式中
二项式系数的最大值为$C_{2m + 1}^{m}=b$。又$13a = 7b$，所以$13C_{2m}^{m}=7C_{2m + 1}^{m}$。则$13× \frac{(2m)!}{m!· m!}=7× \frac{(2m + 1)!}{(m + 1)!· m!}$，解得$m = 6$。