《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

14.某学校的功能室统一使用某品牌的一种灯管，已
知这种灯管的使用寿命(单位:月)服从正态分布
N(μ,σ²),且使用寿命不少于12个月的概率为
0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.
(1)求这种灯管的平均使用寿命μ;
(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少有两支灯管需要更换的概率. 利用对立事件的概率求解较简单.

答案： 14.解:
(1)$\because \xi \sim N(\mu, \sigma^2)$，$P(\xi \geqslant 12) = 0.8$，$P(\xi \geqslant 24) = 0.2$，$\therefore P(\xi ＜ 12) = 0.2$，显然$P(\xi ＜ 12) = P(\xi \geqslant 24)$.
由正态曲线的对称性可知$\mu = \frac{12 + 24}{2} = 18$，即这种灯管的平均使用寿命是$18$个月.
(2)每支灯管使用$12$个月已经损坏的概率为$1 - 0.8 = 0.2$，假设使用$12$个月时该功能室需要更换的灯管数量为$\eta$（单位：支），则$\eta \sim B(4, 0.2)$，故至少有两支灯管需要更换的概率$P = 1 - P(\eta = 0) - P(\eta = 1) = 1 - C_4^0 × 0.8^4 - C_4^1 × 0.8^3 × 0.2 = 0.1808$.

15.(2025.山东临沂模拟)某市为了传承发展中华优
秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下:得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90
内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的学生获一
等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的
掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以
此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图.

(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，
求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率,.−C。
Co0
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态
分布N(μ,σ²),其中σ≈15,μ为样本平均数的估
计值,利用所得正态分布模型解决以下问题:取频中率，、再值求,和:
①若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计
参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果精确到
整数);
②若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)
随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在
64分以上的学生数为令,求随机变量m的分布列和
均值. 服从二项分布:
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,²),则P(μ一
σ＜X＜μ+σ)≈0.6827,P(μ−20＜X＜μ+2)
≈0.9545,P(μ−3子＜X＜μ+3σ)≈0.9973.

答案： 15.解:
(1)由题意知，样本中学生获奖的概率为$0.16 + 0.08 + 0.06 = 0.3$，所以样本中有$30$人获奖，$70$人没有获奖.
则现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，这两名学生中恰有一名学生获奖的概率为$\frac{C_{30}^1 C_{70}^1}{C_{100}^2} = \frac{14}{33}$.
(2)①$\mu = 10 × (35 × 0.006 + 45 × 0.012 + 55 × 0.018 + 65 × 0.034 + 75 × 0.016 + 85 × 0.008 + 95 × 0.006) = 64$，所以$X$近似服从正态分布$N(64, 15^2)$，故$P(64 - 15 \leqslant X \leqslant 64 + 15) \approx 0.6827$，所以$P(79 ＜ X \leqslant 100) = \frac{1}{2}[1 - P(64 - 15 \leqslant X \leqslant 64 + 15)] \approx \frac{1}{2} × (1 - 0.6827) = 0.15865$，所以$10000 × 0.15865 = 1586.5 \approx 1587$，故估计该市参赛学生中成绩超过$79$分的学生数为$1587$.
②因为竞赛成绩的均值为$64$分，故$64$分以上的学生数$\xi \sim B(3, \frac{1}{2})$，所以$P(\xi = 0) = C_3^0 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$，$P(\xi = 1) = C_3^1 (\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{8}$，$P(\xi = 2) = C_3^2 (\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{8}$，$P(\xi = 3) = C_3^3 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$，所以随机变量$\xi$的分布列为
$\xi$ 0 1 2 3
$P$ $\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{8}$
故$E(\xi) = 0 × \frac{1}{8} + 1 × \frac{3}{8} + 2 × \frac{3}{8} + 3 × \frac{1}{8} = \frac{3}{2}$（或$E(\xi) = 3 × \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$）.