《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

7. (2025·河南郑州模拟)一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各 1 个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒子中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表.

(1)若有放回地从盒子中抽取 2 次，每次抽取 1 个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于 6 的概率；
(2)若一次性从盒子中抽取 2 个小球，记抽中的小球对应的得分之和为$X$，求$X$的分布列.

答案：
7.解：
(1)有放回地抽取2次，总的可能有$4×4=16$（种），抽中
的小球对应的得分之和大于6的情况只有第一次取白球，第
二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；两次都取黑球
3种情况，所以得分之和大于6的概率$P=\frac{3}{16}$.
(2)$X$的取值有3,4,5,6,7五种可能，
$P(X=3)=\frac{1}{C_4^26}=\frac{1}{6}$，$P(X=4)=\frac{1}{C_4^26}=\frac{1}{6}$，$P(X=5)=\frac{2}{C_4^26}=\frac{1}{3}$，$P(X=6)=\frac{1}{C_4^26}=\frac{1}{6}$，$P(X=7)=\frac{1}{C_4^26}=\frac{1}{6}$，
所以$X$的分布列为

8. (2025·山东济南模拟)某个知名品牌在某大型超市举行新品上市的抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为$\frac{2}{3}$，中奖可以获得 300 元优惠券；方案乙的中奖率为$\frac{1}{2}$，中奖可以获得 350 元优惠券；未中奖则没有优惠券.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响.
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们获得的优惠券总金额为$X$元，求$X \lt 400$的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红获得优惠券的总金额的分布列.

答案：
8.解：
(1)由已知得，小明中奖的概率为$\frac{2}{3}$，小红中奖的概率为
$\frac{1}{2}$，且两人中奖与否互不影响.
$X$的所有可能取值为0,300,350,650，
记“$X＜400$”为事件$A$，则事件$A$的对立事件为$\overline{A}$，即“$X=650$”，
因为$P(X=650)=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
所以$P(A)=1-P(\overline{A})=\frac{2}{3}$，
即$X＜400$的概率为$\frac{2}{3}$.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的优惠券总金额为
$X_1$元，都选择方案乙所获得的优惠券总金额为$X_2$元，则$X_1$
的可能取值为0,300,600，$X_2$的可能取值为0,350,700.
$P(X_1=0)=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，
$P(X_1=300)=2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$，
$P(X_1=600)=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，
$P(X_2=0)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$P(X_2=350)=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
$P(X_2=700)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
则$X_1,X_2$的分布列分别为

9. (2025·山东威海模拟)现有 4 种类别的图书共 7 本，其中有 2 本数理科学类，3 本中外文学类，政治法律类、医药卫生类各 1 本.
(1)把 7 本图书随机摆成一排，求数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻的概率；
(2)从 7 本图书中随机抽取 4 本，设 4 本图书所属的类别数为$X$，求$X$的分布列.

答案：
9.解：
(1)记事件A：数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书
互不相邻，则$P(A)=\frac{A_3^3A_2^2A_2^2}{A_7^7}=\frac{2}{35}$.
(2)$X$的可能取值为2,3,4，
$P(X=2)=\frac{C_4^2C_3^1+C_4^1C_3^2}{C_7^3}=\frac{1}{5}$，
$P(X=3)=\frac{C_4^1(C_2^1C_3^2+C_2^2C_3^1)+C_3^2(C_2^1+C_3^1)}{C_7^3}=\frac{22}{35}$，
$P(X=4)=\frac{C_4^1C_3^1C_2^1}{C_7^3}=\frac{6}{35}$.
$\therefore X$的分布列为

10. (2025·山东日照模拟)随机对使用某社交软件的 100 人进行统计，得到如下数据统计表，每天使用某社交软件时间在两小时以上的人被定义为“某社交软件依赖”，不超过两小时的人被定义为“非某社交软件依赖”，已知“非某社交软件依赖”与“某社交软件依赖”人数比恰为$3:2$.

(1)确定$x,y,p,q$的值；
(2)为进一步了解使用某社交软件对自己的日常工作和生活是否有影响，从“某社交软件依赖”和“非某社交软件依赖”的 100 人中用分层随机抽样的方法抽取 10 人，若需从这 10 人中随机抽取 3 人进行问卷调查，设选取的 3 人中“某社交软件依赖”的人数为$\xi$，求$\xi$的分布列；
(3)求选取的 3 人中“某社交软件依赖”至少有 2 人的概率.

答案：
10.解：
(1)由统计表中的数据可知，“非某社交软件依赖”的
人数为$5+15+15+x=35+x$，“某社交软件依赖”的人数
为$30+y$，
$\therefore\frac{35+x}{30+y}=\frac{3}{2}$①，$35+x+30+y=100$②，
联立①②，解得$x=25,y=10$，
$\therefore p=\frac{x}{100}=\frac{25}{100}=0.25,q=\frac{y}{100}=\frac{10}{100}=0.10$.
故$x=25,y=10,p=0.25,q=0.10$.
(2)用分层随机抽样的方法抽取的10人中，“非某社交软件
依赖”有$10×\frac{3}{5}=6$（人），“某社交软件依赖”有$10×\frac{2}{5}=4$（人），$\therefore$随机变量$\xi$的所有可能取值为0,1,2,3，则
$P(\xi=0)=\frac{C_6^4C_4^0}{C_{10}^4}=\frac{1}{6}$，$P(\xi=1)=\frac{C_6^3C_4^1}{C_{10}^4}=\frac{1}{2}$，
$P(\xi=2)=\frac{C_6^2C_4^2}{C_{10}^4}=\frac{3}{10}$，$P(\xi=3)=\frac{C_6^1C_4^3}{C_{10}^4}=\frac{1}{30}$，
$\therefore\xi$的分布列为

(3)选取的3人中“某社交软件依赖”至少有2人的概率
为$P(\xi=2)+P(\xi=3)=\frac{3}{10}+\frac{1}{30}=\frac{1}{3}$.