《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例 2 - 2 （2025·河南郑州模拟）某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价 $ x $（单位：元）与销量 $ y $（单位：百件）的对应数据，如下表所示：

(1) 计算 $ x $ 与 $ y $ 的相关系数；
(2) 由(1)的计算结果，推断 $ y $ 与 $ x $ 的相关程度。
参考数据： $ \sum_{i = 1}^5 (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) = -8 $， $ \sqrt{\frac{64}{65}} \approx 0.992 $。
参考公式：相关系数 $ r = \frac{\sum_{i = 1}^n (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^n (x_i - \overline{x})^2} \sqrt{\sum_{i = 1}^n (y_i - \overline{y})^2}} $。

答案： [名师讲习] 解：
(1) 由题可知 $ \overline{x} = \frac{1}{5} × (12 + 12.5 + 13 + 13.5 + 14) = 13 $， $ \overline{y} = \frac{1}{5} × (14 + 13 + 11 + 9 + 8) = 11 $。计算得 $ \sum_{i = 1}^5 (x_i - \overline{x})^2 = 2.5 $， $ \sum_{i = 1}^5 (y_i - \overline{y})^2 = 26 $，
故 $ r = \frac{\sum_{i = 1}^5 (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^5 (x_i - \overline{x})^2} \sqrt{\sum_{i = 1}^5 (y_i - \overline{y})^2}} = - \frac{8}{\sqrt{65}} \approx -0.992 $。
(2) 由
(1)可知， $ y $ 与 $ x $ 的相关系数的绝对值近似为 0.992，大于 0.75 且非常接近 1，说明 $ y $ 与 $ x $ 的线性相关性很强。