《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

14. (2025·广东阳江月考) 一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域均为 $ \mathbf{R} $ 的函数：$ f_1(x) = x $，$ f_2(x) = x^2 $，$ f_3(x) = x^3 $，$ f_4(x) = \sin x $，$ f_5(x) = \cos x $，$ f_6(x) = 2 $.
(1) 现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得新函数是奇函数的概率；
(2) 现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写着偶函数的卡片则停止抽取，否则继续抽取，求抽取次数 $ \xi $ 的分布列.

答案： 14.解：
(1)六个函数中是奇函数的有$f_{1}(x)=x$，$f_{3}(x)=x^{3}$，
$f_{4}(x)=\sin x$.由这三个奇函数中的任意两个函数相加均可
得到一个新的奇函数.
设事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的新
函数是奇函数”，
由题意知$P(A)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{5}$。
(2)$\xi$的所有可能取值为1,2,3,4.
$P(\xi=1)=\frac{A_{3}^{3}}{A_{6}^{3}}=\frac{1}{2}$，$P(\xi=2)=\frac{A_{3}^{3}C_{3}^{1}}{A_{6}^{3}}=\frac{3}{10}$，
$P(\xi=3)=\frac{A_{3}^{3}C_{3}^{1}}{A_{6}^{3}}=\frac{3}{20}$，$P(\xi=4)=\frac{A_{3}^{3}C_{3}^{1}}{A_{6}^{4}}=\frac{1}{20}$。
故$\xi$的分布列为
$\begin{matrix}\xi&1&2&3&4\\P&\frac{1}{2}&\frac{3}{10}&\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\end{matrix}$

15. (2025·山东威海质检) 空气质量指数 PM2.5 (单位：$ \mu g/m^3 $) 表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重. PM2.5 日均浓度与空气质量级别及类别的关系如下表所示：

某市 2025 年 4 月 8 日~5 月 7 日 (30 天) 对空气质量指数 PM2.5 进行监测，获得数据后得到如下条形图：

(1) 估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；
(2) 在上述 30 个监测数据中任取 2 个，设 $ X $ 为空气质量类别为优的天数，求 $ X $ 的分布列.

答案： 15.解：
(1)由条形图可知，空气质量类别为良的天数为16，所以
估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率为$\frac{16}{30}=\frac{8}{15}$。
(2)由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2，则
$P(X=0)=\frac{C_{8}^{0}C_{22}^{2}}{C_{30}^{2}}=\frac{77}{145}$，
$P(X=1)=\frac{C_{8}^{1}C_{22}^{1}}{C_{30}^{2}}=\frac{176}{435}$，
$P(X=2)=\frac{C_{8}^{2}C_{22}^{0}}{C_{30}^{2}}=\frac{28}{435}$。
所以随机变量X的分布列为
$\begin{matrix}X&0&1&2\\P&\frac{77}{145}&\frac{176}{435}&\frac{28}{435}\end{matrix}$

（2022·北京卷改编）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比
赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25。
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23。
丙：9.85，9.65，9.20，9.16。
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立。
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求X的分布列。

答案：
[名师讲习]解：（1）甲比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的有4次，用频率估计概率得$P_{甲}=\frac{4}{10}=0.4$，即估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为0.4。
（2）乙获得优秀奖的概率$P_{乙}=0.5$，
丙获得优秀奖的概率$P_{丙}=0.5$。
由题意得X的可能取值为0，1，2，3，
则$P(X = 0) = 0.6×0.5×0.5 = 0.15$，
$P(X = 1) = 0.4×0.5×0.5 + 0.6×0.5×0.5 + 0.6×0.5×0.5 = 0.4$，
$P(X = 2) = 0.4×0.5×0.5 + 0.4×0.5×0.5 + 0.6×0.5×0.5 = 0.35$，
$P(X = 3) = 0.4×0.5×0.5 = 0.1$，
所以X的分布列为