《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

12.(2025.江西月考)随机变量X服从正态分布N(10,
σA的².)最3,+P小4(值X$\sqrt{2}$为＞1由22m)正=+态2mn曲=,线P1B(的.86＜对+X称2＜√2性10可)知=n,则$\frac{1}{m}$( +2n)
C.3+2$\sqrt{2}$ D.6+4$\sqrt{2}$

答案： 12.D解析:依题意，知$\mu = 10$，根据正态曲线的对称性及$X$在区间$(-\infty, +\infty)$上的概率为$1$，知$2 × P(X ＞ 12) + 2 × P(8 \leqslant X \leqslant 10) = 2m + 2n = 1$.又$m ＞ 0$，$n ＞ 0$，所以$\frac{1}{m} + \frac{2}{n} = (\frac{1}{m} + \frac{2}{n})(2m + 2n) = 2(3 + \frac{n}{m} + \frac{2m}{n}) \geqslant 6 + 4\sqrt{\frac{n}{m} · \frac{2m}{n}} = 6 + 4\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{n}{m} = \frac{2m}{n}$，即$n = \sqrt{2}m$时，等号成立.

13.(新课标全国卷I改编)从某企业生产的某种产品
中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，
由测量结果得如下频率分布直方图:

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x
和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表).
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z
服从正态分布N(μ，²),其中μ近似为样本平均
数五;,σ2近似为样本方差s2,(的园①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2);
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X
表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8,
212.2]的产品件数.利用①的结果，求E(X).
附:$\sqrt{150}$≈12.2.
若Z~N(μ,σ²),则P(μ−σ＜Zμ+σ)≈0.6827,
P(μ−2o＜Z＜μ+2σ)≈0.9545.

答案： 13.解:
(1)由频率分布直方图可知，抽取产品的质量指标值的样本平均数$\overline{x} = 170 × 0.02 + 180 × 0.09 + 190 × 0.22 + 200 × 0.33 + 210 × 0.24 - 220 × 0.08 + 230 × 0.02 = 200$，
样本方差$s^2 = (-30)^2 × 0.02 + (-20)^2 × 0.09 + (-10)^2 × 0.22 + 0 × 0.33 + 10^2 × 0.24 + 20^2 × 0.08 + 30^2 × 0.02 = 150$.
(2)①由
(1)知，$Z \sim N(200, 150)$，从而$P(187.8 \leqslant Z \leqslant 212.2) = P(200 - 12.2 \leqslant Z \leqslant 200 + 12.2) = P(\mu - \sigma \leqslant Z \leqslant \mu + \sigma) \approx 0.6827$.
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间$[187.8, 212.2]$的概率约为$0.6827$，依题意知$X \sim B(100, 0.6827)$，所以$E(X) = 100 × 0.6827 = 68.27$.