《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2025·山东临沂模拟) $(1 + x)^{10}$ 的展开式中的一项是(C)

A.$45x$
B.$90x^{2}$
C.$120x^{3}$
D.$240x^{4}$

答案： 1.C解析：$(1+x)^{10}$的展开式通项为$T_{k + 1} = C_{10}^k x^k$，对比选项依次代入$k = 1,2,3,4$得对应项，$(1+x)^{10}$的展开式中的项可以是$10x,45x^2,120x^3,210x^4$。

2. (多选题)(2025·河南南阳模拟)关于二项式 $(x + \frac{2}{\sqrt{x}})^{5}$ 的展开式,下列选项正确的有(ACD)

A.总共有 6 项
B.存在常数项
C.$x^{2}$ 项的二项式系数为 $C_{5}^{2}$
D.$x^{2}$ 的系数是 40

答案： 2.ACD解析：二项展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{5}^k x^{5 - k} (\frac{-2}{\sqrt{x}})^k = 2^k C_{5}^k x^{5 - \frac{3k}{2}}$。对于A，由指数为$5$可知展开式共有$6$项，故A正确；对于B，由$T_{k + 1} = 2^k C_{5}^k x^{5 - \frac{3k}{2}}$，若存在常数项，即$5 - \frac{3k}{2} = 0$有解，此时$k = \frac{10}{3}$，不符合题意，所以不存在常数项，故B错误；对于C，D，令$5 - \frac{3k}{2} = 2$，解得$k = 2$，此时$T_{3} = 2^2 C_{5}^2 x^{2}$，$4C_{5}^2 = 40$，故C，D正确。

3. (全国卷Ⅰ) $(x^{2} + x + y)^{5}$ 的展开式中,$x^{5}y^{2}$ 的系数为(C)

A.10
B.20
C.30
D.60

答案： 3.C解析：方法一：$(x^2 + x + y)^5 = [(x^2 + x) + y]^5$，易知通项$T_{k + 1} = C_{5}^k (x^2 + x)^{5 - k} y^k$，令$k = 2$，则$T_{3} = C_{5}^2 (x^2 + x)^{3} y^2$，对于二项式$(x^2 + x)^3$，其通项$T_{r + 1} = C_{3}^r (x^2)^{3 - r} x^r = C_{3}^r x^{6 - r}$，令$r = 1$，可得$x^5 y^2$的系数为$C_{5}^2 C_{3}^1 = 30$。
方法二：$(x^2 + x + y)^5$表示$5$个因式$(x^2 + x + y)$的连乘积，要得到$x^5 y^2$项，只需先从$5$个因式中选$2$个因式中的$y$，再在其余$3$个因式中选$1$个$x$，剩下的两个因式选$x^2$即可，故$x^5 y^2$的系数为$C_{5}^2 C_{3}^1 = 30$。

4. (全国卷Ⅲ) $(1 + 2x^{2})(1 + x)^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为(A)

A.12
B.16
C.20
D.24

答案： 4.A解析：方法一：$(1 + 2x^2)(1 + x)^4$的展开式中$x^3$的系数为$1 × C_{4}^3 + 2C_{4}^1 = 12$。故选A。
方法二：$\because (1 + 2x^2)(1 + x)^4 = (1 + 2x^2)(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4)$，$\therefore x^3$的系数为$1 × 4 + 2 × 4 = 12$。故选A。

5. (辽宁卷)使 $(3x + \frac{1}{x\sqrt{x}})^{n}(n \in N^{*})$ 的展开式中含有常数项的最小的 $n$ 为(B)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 5.B解析：方法一：展开式的第$k + 1$项为$T_{k + 1} = C_{n}^k (3x)^{n - k} · (\frac{1}{x\sqrt{x}})^k = C_{n}^k 3^{n - k} x^{n - \frac{5}{2}k}$，令$n - \frac{5}{2}k = 0$，当$k = 2$时，$n = 5$，此时$n$最小。
方法二：按照指数分配原则，要求展开式中的常数项，只需按照$\frac{3}{2}:1$即$3:2$分配即可，又$n$需取最小值，则有$n = 3 + 2 = 5$。

6. (多选题)(2025·湖北黄冈模拟)下列说法正确的是(ABD)

A.$C_{9}^{0}2^{9} + C_{9}^{1}2^{8} + ·s + C_{9}^{9} = 3^{9}$
B.若 $(2x - 1)^{8} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ·s + a_{8}x^{8}$,则 $a_{1} + a_{2} + ·s + a_{8} = 0$
C.$55^{55}$ 被 8 整除的余数为 1
D.$1.05^{10}$ 精确到 0.1 的近似数为 1.6

答案： 6.ABD解析：由二项式定理可知$C_{2}^2 2^0 + C_{3}^2 2^1 + ·s + C_{8}^2 = (2 + 1)^9 = 3^9$，故A项正确；
令$x = 0$得$a_0 = 1$①，令$x = 1$得$1 = a_0 + a_1 + a_2 + ·s + a_8$②，由①②可得$a_1 + a_2 + ·s + a_8 = 0$，故B项正确；
因为$55^{55} = (56 - 1)^{55} = C_{55}^0 56^{55} - C_{55}^1 56^{54} + C_{55}^2 56^{53} - ·s + C_{55}^{55} 56^1 - C_{55}^{55} 56^0$，
由此可得$55^{55}$被$3$整除的余数为$8 - 1 = 7$，故C项错误；
因为$1.05^{10} = (1 + 0.05)^{10} = C_{10}^0 0.05^0 + C_{10}^1 0.05^1 + C_{10}^2 0.05^2 + ·s + C_{10}^{10} 0.05^{10} = 1 + 0.5 + 0.1125 + ·s = 1.5 + 0.1125 + ·s$，
所以$1.05^{10}$精确到$0.1$的近似数为$1.6$，故D项正确。

7. (多选题)(2025·江西南昌模拟)已知 $(3x - 1)^{n} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ·s + a_{n}x^{n}$,设 $(3x - 1)^{n}$ 的展开式的二项式系数之和为 $S_{n}$,$T_{n} = a_{1} + a_{2} + ·s + a_{n}$,则(BC)

A.$a_{0} = 1$
B.$T_{n} = 2^{n} - (-1)^{n}$
C.$n$ 为奇数时,$S_{n} ＜ T_{n}$;$n$ 为偶数时,$S_{n} ＞ T_{n}$
D.$S_{n} = T_{n}$

答案： 7.BC解析：由题意知$S_n = 2^n$，令$x = 0$，得$a_0 = (-1)^n$，令$x = 1$，得$a_0 + a_1 + a_2 + ·s + a_n = 2^n$，所以$T_n = 2^n - (-1)^n$，故选BC。

8. (2025·福建莆田模拟)若 $(x + \frac{a}{x})(2x - \frac{1}{x})^{5}$ 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为(D)

A.-40
B.-20
C.20
D.40

答案： 8.D解析：对于$(x + \frac{a}{x})(2x - \frac{1}{x})^5$，可令$x = 1$得各项系数的和为$1 + a = 2$，故$a = 1$。$(2x - \frac{1}{x})^5$的展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{5}^k (2x)^{5 - k} (-\frac{1}{x})^k = C_{5}^k 2^{5 - k} × (-1)^k × x^{5 - 2k}$。要得到$(x + \frac{1}{x})(2x - \frac{1}{x})^5$的展开式中的常数项，则$x + \frac{1}{x}$中的$x$与$(2x - \frac{1}{x})^5$的展开式中含$\frac{1}{x}$的项相乘，$x + \frac{1}{x}$中的$\frac{1}{x}$与$(2x - \frac{1}{x})^5$的展开式中含$x$的项相乘，故令$5 - 2k = -1$得$k = 3$，令$5 - 2k = 1$得$k = 2$，从而可得所求常数项为$C_{5}^3 × 2^2 × (-1)^3 + C_{5}^2 × 2^3 × (-1)^2 = 40$。

9. (2025·湖北武汉模拟)已知关于 $x$ 的二项式 $(\sqrt{x} + \frac{a}{\sqrt[3]{x}})^{n}$ 的展开式的二项式系数之和为 32,常数项为 80,则 $a$ 的值为(C)

A.1
B.$\pm 1$
C.2
D.$\pm 2$

答案： 9.C解析：由题意知$2^n = 32$，即$n = 5$，在二项展开式的通项$T_{k + 1} = C_{5}^k (\sqrt{x})^{5 - k} (\frac{a}{\sqrt{x}})^k = a^k C_{5}^k x^{\frac{15 - 5k}{6}}$中，令$15 - 5k = 0$，得$k = 3$，符合题意。
所以$C_{5}^3 a^3 = 80$，解得$a = 2$。

10. 若 $(a + x)(1 + x)^{4}$ 的展开式中 $x$ 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 $a =$3.

答案： 10.3解析：方法一：直接将$(a + x)(1 + x)^4$展开得$x^5 + (a + 4)x^4 + (6 + 4a)x^3 + (4 + 6a)x^2 + (1 + 4a)x + a$，由题意，得$1 + (6 + 4a) + (1 + 4a) = 32$，解得$a = 3$。
方法二：$(1 + x)^4$展开式的第$k + 1$项为$T_{k + 1} = C_{4}^k · x^k$，由题意可知，$a(C_{4}^0 + C_{4}^1) + C_{4}^1 + C_{4}^2 + C_{4}^3 = 32$，解得$a = 3$。

11. (2025·陕西西安模拟)若 $(2 - x)^{7} = a_{0} + a_{1}(1 + x) + a_{2}(1 + x)^{2} + ·s + a_{7}(1 + x)^{7}$,则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{6}$ 的值为129.

答案： 11.129解析：令$x = 0$，得$a_0 + a_1 + a_2 + ·s + a_7 = 2^7 = 128$，又$(2 - x)^7 = [3 - (x + 1)]^7$，
则$a_7(1 + x)^7 = C_{7}^7 · 3^0 · [-(x + 1)]^7$，解得$a_7 = -1$。
故$a_0 + a_1 + a_2 + ·s + a_6 = 128 - a_7 = 128 + 1 = 129$。

12. (2025·上海月考)将“杨辉三角”中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0 - 1 三角数表.

从上往下数,第 1 次全行数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行数都为 1 的是第 3 行,…,第 $n$ 次全行数都为 1 的是第2^n-1行;第 61 行中的 1 的个数是32.

答案：
12.$2^n - 1$ $32$解析：写出$0 - 1$三角数表的前面几行，如图所示：
　　　　
可以看出第1次全行数都为1的是第1行，共2个1，第2次全行数都为1的是第3行，共4个1，第3次全行数都为1的是第7行，共8个1，第4次全行数都为1的是第15行，共16个1，所以第$n$次全行数都为1的是第$(2^n - 1)$行，共$2^n$个1。因为第$(2^n - 2)$行与第$(2^n - 3)$行中分别都有$2^{n - 1}$个1，又当$n = 6$时，$2^n - 1 = 2^6 - 1 = 63$，所以第63行全是1（第6次全行数都为1），所以第61行共有$2^6 - 1 = 2^5 = 32$(个)1。

13. (2025·湖南长沙模拟)在 $(1 - x)^{5} + (1 - x)^{6} + (1 - x)^{7} + ·s + (1 - x)^{12}$ 的展开式中,$x^{3}$ 的系数是(D)

A.690
B.-690
C.710
D.-710

答案： 13.D解析：观察原式$(1 - x)^5 + (1 - x)^6 + (1 - x)^7 + ·s + (1 - x)^{12}$，这是首项为$(1 - x)^5$，公比为$1 - x(x \neq 0)$，项数为$12 - 5 + 1 = 8$的等比数列的和。
根据等比数列求和公式$(1 - x)^5 + (1 - x)^6 + (1 - x)^7 + ·s + (1 - x)^{12} = \frac{(1 - x)^5[1 - (1 - x)^8]}{1 - (1 - x)} = \frac{(1 - x)^5 - (1 - x)^{13}}{x}$。要求原式展开式中$x^3$的系数，即求$(1 - x)^5 - (1 - x)^{13}$展开式中$x^4$的系数。
根据二项式$(a + b)^n$展开式的通项公式$T_{k + 1} = C_{n}^k a^{n - k} b^k$分别求出$(1 - x)^5$和$(1 - x)^{13}$展开式中$x^4$的系数。
对于$(1 - x)^5$，$n = 5$，令$k = 4$，则$x^4$的系数为$C_{5}^4 (-1)^4 = C_{5}^4 = 5$。
对于$(1 - x)^{13}$，$n = 13$，令$k = 4$，则$x^4$的系数为$C_{13}^4 (-1)^4 = C_{13}^4 = \frac{13 × 12 × 11 × 10}{4 × 3 × 2 × 1} = 715$。
所以$(1 - x)^5 - (1 - x)^{13}$展开式中$x^4$的系数为$5 - 715 = -710$，即原式展开式中$x^3$的系数为$-710$。

14. (多选题)(2025·江苏无锡模拟)已知 $f(x) = (2x - 3)^{n}$ 的展开式的二项式系数的和为 512,且 $f(x) = a_{0} + a_{1}(x - 1) + a_{2}(x - 1)^{2} + ·s + a_{n}(x - 1)^{n}$,下列选项正确的是(BCD)

A.$a_{1} + a_{2} + ·s + a_{n} = 1$
B.$|a_{0}| + |a_{1}| + ·s + |a_{n}| = 3^{9}$
C.$f(6)$ 除以 8 所得的余数为 1
D.$a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + ·s + na_{n} = 18$

答案： 14.BCD解析：根据题意可知$2^n = 512$，故$n = 9$，故$(2x - 3)^9 = a_0 + a_1 (x - 1) + a_2 (x - 1)^2 + ·s + a_9 (x - 1)^9$。
对于A，令$x = 2$，则$1 = a_0 + a_1 + a_2 + ·s + a_9$，令$x = 1$，则$-1 = a_0$，故$a_1 + a_2 + ·s + a_9 = 2$，故A错误；
因为$(2x - 3)^9 = [-1 + 2(x - 1)]^9 = a_0 + a_1 (x - 1) + a_2 (x - 1)^2 + ·s + a_9 (x - 1)^9$，
故$a_0,a_2,·s,a_8$为负值，$a_1,a_3,·s,a_9$为正值，且令$x = 0$时，$(-3)^9 = a_0 - a_1 + a_2 - ·s - a_9$，
因此$|a_0| + |a_1| + ·s + |a_9| = -a_0 + a_1 - a_2 + ·s - a_9 = -(a_0 - a_1 + a_2 - ·s - a_9) = 3^9$，故B正确；
对于C，$f(6) = 9^9 = (1 + 8)^9 = 1 + C_{9}^1 8^1 + C_{9}^2 8^2 + ·s + C_{9}^9 8^9$，故$f(6)$除以$8$所得的余数为$1$，故C正确；
对$(2x - 3)^9 = a_0 + a_1 (x - 1) + a_2 (x - 1)^2 + ·s + a_9 (x - 1)^9$求导可得$18(2x - 3)^8 = a_1 + 2a_2 (x - 1) + ·s + 9a_9 (x - 1)^8$，令$x = 2$可得$a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ·s + 9a_9 = 18$，故D正确。