《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

15. (2025·浙江杭州模拟)工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓。若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的 2 个螺栓，则不同的固定螺栓方式的种数是60。

答案： 15.60解析:根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且每个螺栓被选中的机会是相等的.若第一个选1号螺栓，则第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，可以得到10种方法(135246,135264,136425,142536,142635,146253,146352,152463,153624,153642)，所以总共有10×6 = 60(种)方法.

16. (2025·广东汕头模拟)“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的 8 名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有 5 人会划左桨，5 人会划右桨。现要选派 3 人划左桨、3 人划右桨，共 6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有37种。

答案： 16.37解析:依题意8名队员中有5人会划左桨，5人会划右桨，则既会划左桨又会划右桨的有5 + 5 - 8 = 2(人)，记这两人分别为A,B.　所以只会划左桨有5 - 2 = 3(人)，只会划右桨有5 - 2 = 3(人)，据此分3种情况讨论:　①从只会划左桨的3人中选3人划左桨，从剩下的人中选3人划右桨，则有$\frac{5×4}{2}$ = 10(种)选法;　②从只会划左桨的3人中选2人划左桨(有3种情况);从A,B中选1人划左桨(有2种情况);再从剩下的会划右桨的4个人中选3人划右桨(有4种情况).　共有3×2×4 = 24(种)选法;　③从只会划左桨的3人中选1人划左桨，A,B这2人划左桨，另外会划右桨的3人划右桨，则有3种选法.　由分类加法计数原理，可得一共有10 + 24 + 3 = 37(种)不同的选法.

17. (2025·湖北武汉模拟)如果直线方程 $ Ax + By = 0 $ 中的 $ A,B $ 可以从 0，1，2，3，5 这 5 个数字中任取两个不同的数字，那么方程所表示的不同直线有几条？

答案： 17.解:方法一:分两步:第一步，确定A的值，有5种不同的情况;第二步，确定B的值，有4种不同的情况.由分步乘法计数原理，可以确定有5×4 = 20(条)直线.但是在这20条直线中，A = 0，B = 1,2,3,5及B = 0，A = 1,2,3,5各表示一条直线，即有6条直线是重复计数(多算)的.因此，符合条件的不同直线共有20 - 6 = 14(条).　方法二:根据A，B是不是0分为两类:　第一类，A,B有一个为0:A = 0，可以确定一条直线;B = 0，可以确定一条直线.　第二类，A,B都不为0:A = 1，B = 2,3,5，可以确定3条直线;A = 2，B = 1,3,5，可以确定3条直线;A = 3，B = 1,2,5，可以确定3条直线;A = 5，B = 1,2,3，可以确定3条直线.共有1×2 + 3×4 = 14(条)直线.

18. (2025·山东济南模拟)根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数。算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字的方法，如图所示。若用算筹随机摆出一个不含数字 0 的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有(B)


A.81 个
B.64 个
C.18 个
D.17 个

答案： 18.B解析:用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出9×9 = 81(个)两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有1×1 = 1(个);　个位和十位上的算筹都为2有2×2 = 4(个);　个位和十位上的算筹都为3有2×2 = 4(个);　个位和十位上的算筹都为4有2×2 = 4(个);　个位和十位上的算筹都为5有2×2 = 4(个)，　共有4×4 + 1 = 17(个)，所以个位和十位上的算筹不一样多的两位数有81 - 17 = 64(个).

19. (多选题)(2025·山东潍坊模拟)“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“——”和“——”，其中“——”在二进制中记作 1，“——”在二进制中记作 0，其变化原理与“逢二进一”的法则相通。若从两类符号中任取 2 个符号排列，则可以组成的不同的十进制数有(BCD)

A.4
B.1
C.2
D.3

答案： 19.BCD解析:根据题意，从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.第一类:由两个“——”组成，二进制数为11，转化为十进制数，为3;第二类:由两个“——”组成，二进制数为00，转化为十进制数，为0;第三类:由一个“——”和一个“——”组成，二进制数为10,01，转化为十进制数，分别为2,1.所以从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数有0,1,2,3.

20. (2025·福建厦门模拟)项数为 $ m $ 的数列 $ \{ a_n \} $ 满足 $ a_i \in \{ 0,1 \} (i = 1,2,·s,m) $，当且仅当 $ a_{i - 1} = a_{i + 1} $ 时 $ a_i = 0 $(其中 $ i = 1,2,·s,m $，规定：$ a_0 = a_m $，$ a_{m + 1} = a_1 $)，称 $ \{ a_n \} $ 为“好数列”。在项数为 6 且 $ a_i \in \{ 0,1 \} (i = 1,2,·s,6) $ 的所有 $ \{ a_n \} $ 中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为$\frac{1}{16}$。

答案： 20.$\frac{1}{16}$解析:因为项数为6且aᵢ∈{0,1}(i = 1,2,…,6)，所以每一项aᵢ都有两种选择，根据分步乘法计数原理，可构成的数列{aₙ}的个数为2⁶ = 64.　由题意，若{aₙ}为“好数列”，则意味着若aᵢ = 0，其前一项与后一项相等.　①若{aₙ}中没有0，则数列为{1,1,1,1,1,1}，不符合题意.　②若{aₙ}中有1个0，不论0在哪个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意.　③若{aₙ}中有2个0，则{0,1,1,0,1,1}，{1,0,1,1,0,1}，{1,1,0,1,1,0}，符合“好数列”定义.　④若{aₙ}中有3个及以上个0，若0相邻，根据定义，数列只能为{0,0,0,0,0,0};若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意.　综上，符合题意的“好数列”只有4个.　所以该数列是“好数列”的概率为$\frac{4}{64}$ = $\frac{1}{16}$.

21. 设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为 $ a,b,c $，且长度为 $ a,b,c $ 的三条边可以构成一个等腰(含等边)三角形，这样的三位数有165个。

答案： 21.165解析:当a = b = c时，共有9种情况.　当a = b≠c或a = c≠b或b = c≠a时，三种情形下满足题意的三位数的个数一样多，　以a = b≠c为例:　①当a = b≥5时，a,b有5种情况，c有8种情况，情况共有5×8 = 40(种);　②当a = b = 4时，c∈{1,2,3,5,6,7}，共有6种情况;　③当a = b = 3时，c∈{1,2,4,5}，共有4种情况;　④当a = b = 2时，c∈{1,3}，共有2种情况.　综上所述，情况共有3×(40 + 6 + 4 + 2)+9 = 165(种)，即满足题意的三位数有165个.