《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例8 （安徽卷）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟。如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为$p_1,p_2,p_3$，假设$p_1,p_2,p_3$互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立。
(1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为$q_1,q_2,q_3$，其中$q_1,q_2,q_3$是$p_1,p_2,p_3$的一个排列，求所需派出人员数目$X$的分布列和均值（数学期望）$E(X)$；
(3)假定$1＞p_1＞p_2＞p_3$，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小。

答案：
(1) 任务能被完成的概率为：
$1 - (1 - p_1)(1 - p_2)(1 - p_3) = p_1 + p_2 + p_3 - p_1p_2 - p_2p_3 - p_3p_1 + p_1p_2p_3$，
改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不变。
(2) 随机变量$X$的分布列为：
| $X$ | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $q_1$ | $(1 - q_1)q_2$ | $(1 - q_1)(1 - q_2)$ |
数学期望$E(X)$为：
$E(X) = q_1 + 2(1 - q_1)q_2 + 3(1 - q_1)(1 - q_2) = 3 - 2q_1 - q_2 + q_1q_2$。
(3)
按甲最先、乙次之、丙最后的顺序时，$E(X) = 3 - 2p_1 - p_2 + p_1p_2$，
对于$p_1,p_2,p_3$的任意排列$q_1,q_2,q_3$，有：
$3 - 2q_1 - q_2 + q_1q_2 \geq 3 - 2p_1 - p_2 + p_1p_2$，
当且仅当$p_1 = q_1,p_2 = q_2$时等号成立，
所以按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派出时，均值最小。