《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

3. (2025·山东临沂模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下,第2次取到的是卡口灯泡的概率为(D)

A.$\frac{3}{10}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{7}{8}$
D.$\frac{7}{9}$

答案： 3.D 解析：设事件A 为“第1 次取到的是螺口灯泡”，事件B 为
“第2 次取到的是卡口灯泡”，则$P(A)=\frac{3}{10}$，$P(AB)=\frac{3×7}{10×9} =\frac{7}{30}$，则所求概率为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} =\frac{\frac{7}{30} }{\frac{3}{10} } =\frac{7}{9}$.

4. (2025·湖南邵阳模拟)已知某公司有60名男员工、20名女员工,男员工中有$\frac{2}{3}$的人有驾照,女员工中有$\frac{3}{4}$的人有驾照,随机从该公司抽取一名员工,若已知该员工有驾照,则该员工是男员工的概率为(A)

A.$\frac{8}{11}$
B.$\frac{11}{16}$
C.$\frac{17}{24}$
D.$\frac{3}{8}$

答案： 4.A 解析：设员工有驾照为事件A，男员工有驾照为事件B，
则$P(A)=\frac{60×\frac{2}{3} +20×\frac{3}{4} }{60+20} =\frac{55}{80} =\frac{11}{16}$，$P(BA)=\frac{60}{80} ×\frac{2}{3} =\frac{1}{2}$.
则由条件概率可得$P(B|A)=\frac{P(BA)}{P(A)} =\frac{\frac{1}{2} }{\frac{11}{16} } =\frac{8}{11}$.

5. 假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%,医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%,即已知患病情况下,99%的可能性可以检查出阳性,正常人99%的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测,经计算检测结果为阳性的全概率为0.010 98,则在医院给出的检测结果为阳性的条件下,这个人得病的概率约为(C)

A.0.1%
B.8%
C.9%
D.9.9%

答案： 5.C 解析：记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，
则$P(A)=0.1\%$，$P(B|A)=99\%$，
因为$P(B|A)·P(A)+P(B|\overline{A})·P(\overline{A})=0.01098$，
所以$P(A|B)=\frac{P(B|A)·P(A)}{P(B|A)·P(A)+P(B|\overline{A})·P(\overline{A})}$
$=\frac{99\%×0.1\%}{0.01098} ≈9\%$，所以在医院给出的检测结果为阳性的
条件下，这个人得病的概率约为$9\%$.故选C.

6. (2025·山东济宁一模)甲,乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用3局2胜制.如果每局比赛甲获胜的概率为0.7,乙获胜的概率为0.3,且各局比赛结果相互独立,那么在甲获胜的条件下,比赛进行了3局的概率为(C)

A.$\frac{3}{16}$
B.$\frac{3}{13}$
C.$\frac{3}{8}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 6.C 解析：设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，
则$P(A)=0.7×0.7+2×0.7×0.3×0.7=0.784$，
$P(AB)=2×0.7×0.3×0.7=0.294$.
所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} =\frac{0.294}{0.784} =\frac{3}{8}$.

7. (多选题)(2025·江苏南京模拟)将3枚质地均匀的正方体骰子各掷一次,记事件A表示“三个点数都不相同”,事件B表示“至少出现一个3点”,则(CD)

A.$P(B|A)=\frac{91}{216}$
B.$P(A|B)=\frac{5}{18}$
C.$P(A|B)=\frac{60}{91}$
D.$P(B|A)=\frac{1}{2}$

答案： 7.CD 解析：因为$P(A)=\frac{6×5×4}{6^3} =\frac{5}{9}$，$P(B)=1-\frac{5^3}{6^3} =\frac{91}{216}$，$P(AB)=\frac{C_{3}^{1} A_{5}^{2} }{6^3} =\frac{5}{18}$，所以$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} =\frac{\frac{5}{18} }{\frac{91}{216} } =\frac{60}{91}$，$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} =\frac{\frac{5}{18} }{\frac{5}{9} } =\frac{1}{2}$.

8. (2025·湖北武汉模拟)在100件产品中有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为$\frac{4}{99}$.

答案： 8.$\frac{4}{99}$ 解析：方法一(应用条件概率公式求解)：设事件A 为“第
一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则所
求的概率为$P(B|A)$.
因为$P(AB)=\frac{A_{5}^{2} }{A_{100}^{2} } =\frac{1}{495}$，$P(A)=\frac{C_{5}^{1} }{C_{100}^{1} } =\frac{1}{20}$，
所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} =\frac{\frac{495}{1} }{\frac{1}{20} } =\frac{4}{99}$.
方法二(缩小样本空间求解)：第一次取到不合格品后，也就是
在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此
第二次取到不合格品的概率为$\frac{4}{99}$.

9. (2025·河北沧州模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,若$P(\overline{B})=\frac{1}{3}$,$P(\overline{A}B)=\frac{1}{3}$,则$P(A|B)=$$\frac{1}{2}$.

答案： 9.$\frac{1}{2}$ 解析：因为$P(\overline{B}) =\frac{1}{3}$，
所以$P(B)=1-P(\overline{B})=1-\frac{1}{3} =\frac{2}{3}$.
又因为$P(B)=P(\overline{A}B)+P(AB)=\frac{2}{3}$，$P(\overline{A}B)=\frac{1}{3}$，
所以$P(AB)=\frac{1}{3}$，所以$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} =\frac{\frac{1}{3} }{\frac{2}{3} } ×=\frac{1}{2}$.

10. (2025·福建福州模拟)一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子,设得到的点数分别为a,b.在已知$a + b＞8$的条件下,$a ＜ b$的概率为$\frac{2}{5}$.

答案： 10.$\frac{2}{5}$ 解析：设先后抛掷的两枚质地均匀的骰子的点数分别
为$a$，$b$，则样本空间$\Omega =\{(a,b)|a,b\in\{1,2,3,4,5,6\}\}$，其
包含的样本点有36个.
记事件$A=``a + b ＞ 8"$，则事件A 包含的样本点为$(3,6)$，
$(4,5)$，$(4,6)$，$(5,4)$，$(5,5)$，$(5,6)$，$(6,3)$，$(6,4)$，$(6,5)$，$(6,6)$，共10个.
记事件$B=``a ＜ b"$，则事件$AB=``a + b ＞ 8$且$a ＜ b"$，其包
含的样本点有4个，为$(3,6)$，$(4,5)$，$(4,6)$，$(5,6)$.
所以由条件概率公式知$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} =\frac{\frac{4}{36} }{\frac{10}{36} } =\frac{2}{5}$.

11. (2025·湖南长沙检测)某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%,且四条流水线的产品不合格率分别为0.05,0.04,0.03和0.02,现从该厂的这一产品中任取一件,问抽到不合格品的概率是多少?

答案： 11.解：设$A_i=$“任取一件这种产品，结果是第$i$条流水线的产品”$(i = 1,2,3,4)$，
则$\Omega=B_1\cup B_2\cup B_3\cup B_4$，且$B_1$，$B_2$，$B_3$，$B_4$两两互斥，根据
题意，
$P(B_1)=0.15$，$P(B_2)=0.20$，$P(B_3)=0.30$，$P(B_4)=0.35$，
$P(A|B_1)=0.05$，$P(A|B_2)=0.04$，$P(A|B_3)=0.03$，
$P(A|B_4)=0.02$，
由全概率公式，得
$P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)+$
$P(B_4)P(A|B_4)=0.15×0.05+0.20×0.04+0.30×0.03+$
$0.35×0.02=0.0315$，故从该厂的这一产品中任取一件，抽
到不合格品的概率是0.0315.

12. (2025·江苏淮安模拟)已知甲袋中有2个白球和3个红球,乙袋中有2个白球和2个红球,先从甲袋中取2个球放入乙袋,再从乙袋中取2个球放入甲袋.若从乙袋取出的2个球都是红球,则从甲袋取出的2个球是1红1白的概率为(B)

A.$\frac{37}{150}$
B.$\frac{18}{37}$
C.$\frac{3}{25}$
D.$\frac{1}{37}$

答案： 12.B 解析：设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为$i$的事
件为$A_i$，事件$A_i$的概率为$P(A_i)$，从乙袋中取出2个球，其
中红球的个数为2的事件为B，事件B的概率为$P(B)$.
由题意，
$①P(A_0)=\frac{C_{2}^{2} C_{3}^{0} }{C_{6}^{2} } =\frac{1}{10}$，$P(B|A_0)=\frac{C_{6}^{0} C_{0}^{2} }{C_{6}^{2} } =\frac{1}{15}$；
$②P(A_1)=\frac{C_{2}^{1} C_{3}^{1} }{C_{6}^{2} } =\frac{3}{5}$，$P(B|A_1)=\frac{C_{6}^{1} C_{0}^{1} }{C_{6}^{2} } =\frac{1}{5}$；
$③P(A_2)=\frac{C_{2}^{2} C_{3}^{0} }{C_{6}^{2} } =\frac{3}{10}$，$P(B|A_2)=\frac{C_{6}^{2} C_{0}^{0} }{C_{6}^{2} } =\frac{2}{5}$.
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，
则从甲袋中取出的2个球是1红1白的概率为$P(A_1|B)=$
$\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_0)P(B|A_0)+P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)} =$
$\frac{\frac{3}{5} ×\frac{1}{5} }{\frac{1}{10} ×\frac{1}{15} +\frac{3}{5} ×\frac{1}{5} +\frac{3}{10} ×\frac{2}{5} } =\frac{18}{37}$.

13. (多选题)(2025·山东临沂模拟)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以$A_1$,$A_2$和$A_3$表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是(BD)

A.$P(B)=\frac{2}{5}$
B.$P(B|A_1)=\frac{5}{11}$
C.事件B与事件$A_1$相互独立
D.$A_1$,$A_2$,$A_3$是两两互斥的事件

答案： 用$A_1$，$A_2$，$A_3$是两两互斥的事件，故D正确；
$P(A_1)=\frac{5}{10} -\frac{1}{2}$，$P(A_2)=\frac{2}{10} =\frac{1}{5}$，$P(A_3)=\frac{3}{10}$，$P(B|$
$A_1)=\frac{5}{11}$，$P(B|A_2)=\frac{4}{11}$，$P(B|A_3)=\frac{4}{11}$，由此知B正确；
$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|$
$A_3)=\frac{1}{2} ×\frac{5}{11} +\frac{1}{5} ×\frac{4}{11} +\frac{3}{10} ×\frac{4}{11} =\frac{9}{22}$.$P(B|A_1)\neq P(B)$，
则事件B 与事件$A_1$不相互独立，由此知A，C不正确，故
选BD.