《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2025·山东烟台模拟)国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应.某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”.现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为(B)

A.$\frac{12}{35}$
B.$\frac{18}{35}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{3}{7}$

答案： 1.B 解析：由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为
$P=\frac{\mathrm{C}_{3}^{2} \mathrm{C}_{7}^{1}}{\mathrm{C}_{3}^{3}}=\frac{18}{35}.$

2. (2025·山东济南模拟)某工厂产品合格的概率均为$p$，各产品合格与否相互独立.设$X$为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中$D(X)=1.2$，$P(X = 2)\lt P(X = 3)$，则$p=$(B)

A.0.7
B.0.6
C.0.4
D.0.3

答案： 2.B 解析：由已知得$X\sim B(5,p)，$
$\therefore D(X)=5p(1-p),P(X=2)=\mathrm{C}_{5}^{2} p^{2}(1-p)^{3},P(X=3)=$
$\mathrm{C}_{5}^{3} p^{3}(1-p)^{2}.$
又D(X)=1.2,P(X=2)＜P(X=3)，
$\therefore p(1-p)=0.24,1-p＜p，$解得p=0.6.

3. (2025·辽宁丹东模拟)某种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，记补种的种子数为$X$，则$X$的数学期望为(C)

A.75
B.150
C.300
D.450

答案： 3.C 解析：由题知播种了1000粒，没有发芽的种子数$\xi$服从
二项分布，即$\xi\sim B(1000,0.15)，$而每粒需再补种2粒，故
$X=2\xi，$则$E(X)=2E(\xi)=2×1000×0.15=300.$故选C.

4. (2025·江苏徐州模拟)已知随机变量$X$，$Y$满足$X\sim B(3,p)$，$Y = 2X + 1$，且$P(X\leqslant 2)=\frac{19}{27}$，则$E(Y)=$(B)

A.$\frac{8}{3}$
B.5
C.8
D.4

答案： 4.B 解析：$\because$随机变量X满足$X\sim B(3,p)$且$P(X\leq2)=\frac{19}{27}，$
$\therefore P(X\leq2)=1-P(X=3)=1-\mathrm{C}_{3}^{3}p^{3}=\frac{19}{27}，$
整理得$p^{3}=\frac{8}{27}，$解得$p=\frac{2}{3}，$$\thereforeE(X)=np=3×\frac{2}{3}=2.$
又$\because$随机变量Y满足Y=2X+1，
$\thereforeE(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=5.$

5. (2025·河南南阳模拟)在一个袋中装有质地、大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为$X$，则下列结论正确的是(C)

A.$P(X = 1)=\frac{2}{5}$
B.随机变量$X$服从二项分布
C.随机变量$X$服从超几何分布
D.$E(X)=\frac{8}{3}$

答案： 5.C 解析：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C
正确；X的取值分别为0,1,2,3,4，
则$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}_{7}^{4}}{\mathrm{C}_{10}^{4}}=\frac{1}{14}，$$P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_{7}^{3}\mathrm{C}_{3}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{4}}=\frac{8}{21}，$
$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}_{7}^{2}\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{4}}=\frac{3}{7}，$$P(X=3)=\frac{\mathrm{C}_{7}^{1}\mathrm{C}_{3}^{3}}{\mathrm{C}_{10}^{4}}=\frac{4}{35}，$
$P(X=4)=\frac{\mathrm{C}_{3}^{4}}{\mathrm{C}_{10}^{4}}=\frac{1}{210}，$
$\thereforeE(X)=0×\frac{1}{14}+1×\frac{8}{21}+2×\frac{3}{7}+3×\frac{4}{35}+4×\frac{1}{210}=\frac{8}{5}$
（或者用公式$E(X)=\frac{4×4}{10}=\frac{8}{5}）.$故A,D错误.

6. (2025·陕西宝鸡模拟)小华与另外4名同学进行“手心手背”游戏，规则是5人同时随机选择手心或手背其中的一种手势，规定相同手势人数更多者每人得1分，其余每人不得分(若5人手势相同，则每人各得1分).现5人共进行了3次游戏，记小华3次游戏得分之和为$X$，则$E(X)=$(B)

A.$\frac{15}{16}$
B.$\frac{33}{16}$
C.$\frac{15}{8}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 6.B 解析：每次游戏中，小华得分的概率为$p=\mathrm{C}_{3}^{1}×(\frac{1}{2})^{2}×$
$(\frac{1}{2})+\mathrm{C}_{3}^{2}×(\frac{1}{2})^{3}×(\frac{1}{2})+\mathrm{C}_{3}^{3}×(\frac{1}{2})^{4}=\frac{11}{16}，$则$X\sim$
$B(3,\frac{11}{16})，$$\thereforeE(X)=3×\frac{11}{16}=\frac{33}{16}$故选B.

7. (多选题)(2025·广东中山模拟)如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，用$X$表示小球落入格子的号码，则下列正确的是(ABD)


A.$P(X = 2)=\frac{1}{4}$
B.$P(X = k)\leqslant P(X = 3)(k = 1,2,3,4,5)$
C.$E(X)=2$
D.$D(X)=1$

答案： 7.ABD 解析：设Y=X-1，依题意，$Y\sim B(4,\frac{1}{2}).$
因为$P(X=2)=P(Y=1)=\mathrm{C}_{4}^{1}·(\frac{1}{2})^{1}=\frac{1}{4}，$所以A正确；
因为$P(X=k)=P(Y=k-1)=\mathrm{C}_{4}^{k-1}(\frac{1}{2})^{k=1}(k=1,2,3,4,$
5)，则$P(X=1)=\frac{1}{16}，$$P(X=2)=\frac{1}{4}，$$P(X=3)=\frac{3}{8}，$P(
$=4)=\frac{1}{4}，$$P(X=5)=\frac{1}{16}，$
所以$P(X=k)\leq P(X=3)(k=1,2,3,4,5)，$所以B正确；
因为$E(X)=E(Y)+1=4×\frac{1}{2}+1=3，$所以C错误；
因为$D(X)=D(Y)=4×(\frac{1}{2})^{2}=1，$所以D正确.