《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

9. (2025·浙江杭州模拟)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(B)

A.24
B.18
C.12
D.6

答案： 9.B 解析：由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种“奇偶奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位有2种情况，共12种；如果是第二种“偶奇奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能是0，只有一种情况，共6种.因此总共有12+6=18(个)奇数.

10. (1)用数字 1,2,3 可以组成多少个三位数?
(2)用数字 1,2,3 可以组成多少个没有重复数字的三位数?

答案： 10.解：
(1)要完成“组成三位数”这件事，需分以下三步：第一步，确定个位数字，1,2,3三个数字都可以选择，有3种选法；第二步，确定十位数字，1,2,3三个数字都可以选择，有3种选法；第三步，确定百位数字，1,2,3三个数字都可以选择，有3种选法.根据分步乘法计数原理，可以组成的三位数有3×3×3=27(个).
(2)要完成“组成没有重复数字的三位数”这件事，需分以下三步：第一步，确定个位数字，1,2,3三个数字都可以选择，有3种选法；第二步，确定十位数字，第一步选过的数字不能选择，因此有2种选法；第三步，确定百位数字，只有1种选法.根据分步乘法计数原理，可以组成的没有重复数字的三位数有3×2×1=6(个).

11. (2025·河南郑州检测)用 0,1,2,3,4 五个数字.
(1) 可以排成多少个不同的三位数字的密码?
(2) 可以排成多少个不同的三位数?
(3) 可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数?

答案： 11.解：
(1)三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，故共可排成5×5×5=125(个)不同的三位数字的密码.
(2)三位数的百位不能为0，但可以有重复数字，先考虑百位的排法，除0外共有4种排法，十位、个位都可以排0，两个位置都有5种排法，因此，共可排成4×5×5=100(个)不同的三位数.
(3)能被2整除的数即偶数，个位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是个位数字为0，则有4×3=12(种)排法；一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排百位，因0不能在百位，故有3种排法，十位有3种排法，则有2×3×3=18(种)排法.故共有12+18=30(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

12. (2025·安徽蚌埠模拟)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有(C)

A.360 种
B.420 种
C.369 种
D.396 种

答案： 12.C 解析：方法一(直接法)：以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4=16(种)；第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4=96(种)；第四类，有一个班级去甲工厂，其他三个班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4=256(种).
综上，不同的分配方案有1+16+96+256=369(种).
方法二(间接法)：先计算四个班级自由选择去哪个工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即共有5×5×5×5-4×4×4×4=369(种)不同的分配方案.

13. (2025·山东临沂模拟)有 4 位老师在同一年级的 4 个班级中各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法种数是(C)

A.11
B.10
C.9
D.8

答案： 13.C 解析：设四个班级分别是A,B,C,D，它们的老师分别是a,b,c,d，方法一：设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种符合题目要求的方法；同理当a监考C,D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种符合题目要求的方法.这样，由分类加法计数原理知，共有3+3+3=9(种)不同的安排方法.
方法二：让a先选，可从B,C,D中选一个，即有3种选法.若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1=9(种)不同的安排方法.

14. (2025·山东济南模拟)如图所示的几何体是由一个三棱锥$P - ABC$与一个三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$组合而成的,现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面$A_{1}B_{1}C_{1}$不染色),要求每面染一种颜色,且相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有12种.

答案： 14.12 解析：分步解决，先染三棱锥P-ABC的3个侧面，有3×2×1种染法，然后染三棱柱ABC-A₁B₁C₁的3个侧面，当棱锥的三个侧面所染的颜色确定后，棱柱的三个侧面的染色方案只有2种，所以不同的染色方案共有3×2×1×2=12(种).