《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例 3 - 1 (2025·山东潍坊模拟) 为了解某省高中男生的身体发育状况, 随机抽取 1000 名男生测量他们的体重, 测量的结果表明他们的体重 $X$ (单位: $kg$) 服从正态分布 $N(\mu,2^2)$, 正态曲线如图所示. 若体重落在区间 $[58.5,62.5]$ 内属于正常情况, 则在这 1000 名男生中不属于正常情况的人数约是 (D)


A.954
B.819
C.683
D.317

答案： [名师讲习] 由题意可知, $\mu = 60.5,\sigma = 2$, 故 $P(58.5\leq X\leq 62.5)=P(\mu - \sigma\leq X\leq \mu + \sigma)\approx 0.6827$, 从而不属于正常情况的人数约是 $1000×(1 - 0.6827)\approx 317$.
[正确答案] D

例 3 - 2 (2025·山东临沂模拟) 某工厂生产的零件外直径 (单位: $cm$) 服从正态分布 $N(10,0.04)$, 现从该厂上、下午生产的零件中各随机抽取一个, 测得其外直径分别为 $9.75cm$ 和 $9.35cm$, 则可认为 (B)___在实际生产和生活中,正态分布广泛存在,我们经常用$3\sigma$原则来判断生产情况是否出现异常.___

A.上午生产情况异常, 下午生产情况正常
B.上午生产情况正常, 下午生产情况异常
C.上、下午生产情况均正常
D.上、下午生产情况均异常

答案： [名师讲习] 设零件外直径为 $X$ (单位: $cm$), 则 $X\sim N(10,0.04),\mu = 10,\sigma = 0.2$,
$\therefore 10 + 3× 0.2 = 10.6(cm),10 - 3× 0.2 = 9.4(cm)$, 根据 $3\sigma$ 原则, 零件外直径在 $[9.4,10.6]$ 之外为情况异常.
又 $9.4 ＜ 9.75 ＜ 10.6,9.35 ＜ 9.4$,
$\therefore$ 上午生产情况正常, 下午生产情况异常.
[正确答案] B

例 3 - 3 (2025·山东泰安模拟) 某新能源车型的续航里程 $X$ (单位: $km$) 服从正态分布 $N(400,\sigma^2)$. 若该车型中 $95\%$ 的车续航里程介于 $360km$ 与 $440km$ 之间, 则续航里程超过 “$360\leq X\leq 440$”相当于“$\mu - 2\sigma\leq X\leq \mu + 2\sigma$”. $420km$ 的车在该车型中的占比约为 $420 = \mu + \sigma$ $\mu = 400,\sigma = 20$. (A)
(参考公式: $P(\mu - \sigma\leq X\leq \mu + \sigma)\approx 0.68,P(\mu - 2\sigma\leq X\leq \mu + 2\sigma)\approx 0.95,P(\mu - 3\sigma\leq X\leq \mu + 3\sigma)\approx 0.99$)

A.$16\%$
B.$34\%$
C.$66\%$
D.$34\%$

答案： [名师讲习] 因为续航里程 $X$ 服从正态分布 $N(400,\sigma^2)$, 即 $\mu = 400$,
由题意 $P(360\leq X\leq 440)=0.95$, 又 $P(\mu - 2\sigma\leq X\leq \mu + 2\sigma)\approx 0.95$,
所以 $\mu - 2\sigma = 400 - 2\sigma = 360,\mu + 2\sigma = 400 + 2\sigma = 440$, 所以 $\sigma = 20$,
所以 $P(X ＞ 420)=P(X ＞ \mu + \sigma)=\frac{1 - P(\mu - \sigma\leq X\leq \mu + \sigma)}{2}\approx 0.16 = 16\%$.
[正确答案] A