《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

6. 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以只挂 1 面旗，也可以挂 2 面旗或 3 面旗，旗数或顺序不同时，表示信号不同，则一共可表示多少种不同的信号？

答案： 6.解：按照所挂旗数，可以分为三类：
第一类是只挂1面旗，此时可表示$A_3^1$种不同的信号；
第二类是挂2面旗，此时可表示$A_3^2$种不同的信号；
第三类是挂3面旗，此时可表示$A_3^3$种不同的信号.
按照分类加法计数原理，一共可表示不同的信号有$A_3^1+A_3^2+A_3^3=3 + 3×2+3×2×1 = 15$种.

7. 将 4 名医生与 4 名护士分配到四个不同单位，要求每个单位分配一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？

答案： 7.解：完成这件事可以分为两步.第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中取出4个元素的排列问题，有$A_4^4$种方法.第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有$A_4^4$种方法.根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有$A_4^4× A_4^4 = 576$种.

8. (2025·吉林长春月考)用 0，1，2，3，4，5 共 6 个数字，可以组成288个没有重复数字的六位奇数。

答案： 8.288 解析：方法一(从个位入手)：个位上的数字的排法有$A_3^1$种，十万位上的数字的排法有$A_4^1$种，余下的数字可以在其余各位上进行全排列，有$A_4^4$种.由分步乘法计数原理，符合题意的六位奇数共有$A_3^1A_4^1A_4^4 = 288$个.
方法二(从十万位入手)：十万位排定后，个位数字的排法与十万位所排数字是奇数还是偶数有关，因此，需分2类.第1类，十万位排奇数的六位奇数有$A_3^2A_4^4$个；第2类，十万位排偶数的六位奇数有$A_2^1A_1^1A_4^4$个.故符合题意的六位奇数共有$A_3^2A_4^4+A_2^1A_1^1A_4^4 = 288$个.
方法三(从特殊元素入手)：0不在两端有$A_4^2A_3^1$种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有$A_3^1$种排法，其余各数位用余下的数字全排列.由分步乘法计数原理，符合题意的六位奇数共有$A_4^2A_3^1A_3^1 = 288$个.
方法四(从整体上排除)：6个数字的全排列有$A_6^6$个，其中0，2,4在个位上的排列数有$3A_5^5$个，而1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数有$3A_4^4$个，故符合题意的六位奇数共有$A_6^6 - 3A_5^5 - 3A_4^4 = 288$个.
方法五(从局部上排除)：1在个位上的排列有$A_5^5$个，其中0在十万位上的排列有$A_4^4$个，故1在个位上的六位奇数有$(A_5^5 - A_4^4)$个.同理，当3,5在个位上也各有$(A_5^5 - A_4^4)$个六位奇数.因此，符合题意的六位奇数共有$3(A_5^5 - A_4^4)=288$个.
方法六(抓住特殊元素进行分类排除)：6个数字的全排列有$A_6^6$个，0在个位与十万位的各有$A_5^5$个，0在十位、百位、千位、万位的偶数各有$A_2^1A_4^4$个.故符合题意的六位奇数共有$A_6^6 - 2A_5^5 - 4A_2^1A_4^4 = 288$个.

9. 6 名同学排成 1 排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有多少种不同站法？

答案： 9.解：方法一(位置分析法)：先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：
第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有$A_5^2$种站法；
第2步，余下的4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有$A_4^4$种站法.
由分步乘法计数原理，可知不同站法共有$A_5^2A_4^4 = 480$种.
方法二(元素分析法)：先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：
第1步，将甲安排在除最左边、最右边外的任意位置上，有$A_4^1$种站法；
第2步，余下的5人站在剩下的5个位置上，有$A_5^5$种站法.
由分步乘法计数原理，可知不同站法共有$A_4^1A_5^5 = 480$种.
方法三(间接法)：6人无限制条件排队有$A_6^6$种站法，甲站在最左边或最右边时6人排队有$2A_5^5$种站法，因此符合条件的不同站法共有$A_6^6 - 2A_5^5 = 480$种.

10. (2025·江苏南京模拟)从包括甲、乙两名同学在内的 7 名同学中选出 5 名同学排成一列，求解下列问题。
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？

答案： 10.解：
(1)方法一：把元素作为研究对象.
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有$A_6^5$种排法；
第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有$A_6^4$种排法.根据分步乘法计数原理，有$4× A_6^4$种排法.
由分类加法计数原理知，共有$A_6^5+4× A_6^4 = 2160$种排法.
方法二：把位置作为研究对象.
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有$A_6^1$种排法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有$A_6^4$种排法.
由分步乘法计数原理知，共有$A_6^1A_6^4 = 2160$种排法.
方法三(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有$A_7^5$种，甲在首位的情况有$A_6^4$种，所以符合要求的排法有$A_7^5 - A_6^4 = 2160$种.
(2)把位置作为研究对象.
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有$A_6^2$种排法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有$A_5^3$种排法.
根据分步乘法计数原理，共有$A_6^2A_5^3 = 1800$种排法.
(3)把位置作为研究对象.
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置上，有$A_5^2$种排法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有$A_5^3$种排法.
根据分步乘法计数原理，共有$A_5^2A_5^3 = 1200$种排法.
(4)间接法.
总的可能情况有$A_7^5$种，减去甲在首位的$A_6^4$种排法，再减去乙在末位的$A_6^4$种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次$A_5^3$种排法，所以共有$A_7^5 - 2A_6^4+A_5^3 = 1860$种排法.