《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

3. (2025·四川成都单元测试)用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$这$7$个数字组成没有重复数字的四位数。
（1）如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？
（2）如果组成的四位数必须大于$6500$，那么这样的四位数有多少个？

答案： 3.解：
(1)第1步，排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2，4，6之一，所以有$A_{3}^{1}$种排法；第2步，排千、百、十这三个数位上的数，有$A_{5}^{3}$种排法.根据分步乘法计数原理，得符合条件的四位数的个数是$A_{3}^{1}A_{5}^{3}=3 × 6 × 5 × 4 = 360$.故这样的四位数有360个.
(2)因为组成的四位数要大于6500，所以千位上的数字只能取7或6，排法可以分两类.第1类：千位上排7，有$A_{6}^{3}$种不同的排法；第2类：千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有$A_{2}^{1}A_{5}^{2}$种不同的排法.根据分类加法计数原理，得符合条件的四位数的个数是$A_{6}^{3}+A_{2}^{1}A_{5}^{2}=160$.故这样的四位数有160个.

1. (1)已知 $0! + A_{n}^{2} = 133$，则 $n=$12；
(2)计算 $\frac{A_{2n}^{n + 3}}{n} + A_{3}^{n}=$726。

答案： 1.
(1)12
(2)726 解析：
(1)由于0！=1，则$A_n^2=132=n(n-1)$，解得n=12或n=-11(舍去).故n=12.
(2)由条件得$\begin{cases}n + 3 \leq 2n, \\n\leq 3,\end{cases}$即n=3，所以$A_{2n}^{n + 3}+A_n^3=A_6^6+A_3^3=726$.

2. 已知 $A_{n}^{n} + A_{n - 1}^{n - 1} = xA_{n + 1}^{n + 1}(n\in N^{*},n\geq2)$，则 $x$ 的值为$\frac{1}{n}$。

答案： 2.$\frac{1}{n}$ 解析：$A_n^n+A_{n - 1}^{n - 1}=xA_{n + 1}^{n + 1}$化为$n!+(n - 1)!=x(n + 1)!$，即$x(n + 1)n(n - 1)!=n×(n - 1)!+(n - 1)!$，解得$x=\frac{1}{n}$.

3. (1)解不等式：$A_{8}^{x}＜6A_{8}^{x - 2}$。
(2)证明下列等式：
①$(n + 1)A_{n}^{m}=A_{n + 1}^{m + 1}$；
②$\frac{1}{n - m}A_{n}^{m + 1}=A_{n}^{m}$。

答案： 3.
(1)解：由题意得$\begin{cases}1\leq x\leq8, \\1\leq x - 2\leq8,\end{cases}$解得$3\leq x\leq8$.原不等式可化为$\frac{8!}{(8 - x)!}＜6×\frac{8!}{(10 - x)!}$，化简得$1＜\frac{6}{(10 - x)(9 - x)}$，即$x^2 - 19x + 84＜0$，解得$7＜x＜12$.故$7＜x\leq8$.又$x\in N^*$，$\therefore x = 8$.即不等式的解集为$\{8\}$.
(2)证明：①$(n + 1)A_n^m=(n + 1)·\frac{n!}{(n - m)!}=\frac{(n + 1)!}{(n - m)!}=\frac{(n + 1)!}{[(n + 1)-(m + 1)]!}=A_{n + 1}^{m + 1}$.
②$\frac{1}{n - m}A_{m + 1}^{m + 1}=\frac{1}{n - m}·\frac{n!}{(n - m - 1)!}=\frac{n!}{(n - m)!}=A_n^m$.

4. (2025·浙江杭州检测)某高校有 4 名志愿者参加社区志愿工作，若每天早、中、晚三班，每班 1 人，每人每天最多值一班，则值班当天不同的排班种数为(C)

A.12
B.18
C.24
D.144

答案： 4.C 解析：由题意知，值班当天不同的排班种数为$A_4^3 = 24$.

5. (多选题)(2025·湖北荆门模拟)现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到 A，B，C，D，E 五家医院进行某项医学指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则(AB)

A.所有可能的安排方法有 125 种
B.若 A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有 61 种
C.若专家甲必须去 A 医院，则不同的安排方法有 16 种
D.若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有 10 种

答案： 5.AB 解析：对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有$5^3=125$种，所以A正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有$5^3$种，A医院没有专家去的方法有$4^3$种，所以A医院必须有专家去的不同的安排方法有$5^3 - 4^3 = 61$种，所以B正确；
对于C，专家甲必须去A医院，则专家乙、丙的安排方法有$5^2 = 25$种，所以C错误；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有$A_5^3 = 60$种，所以D错误.