《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

3. (2025·湖北武汉月考) 将编号分别为 1，2，3，4 的四张贺卡随机送给编号分别为 1，2，3，4 的四位老师，要求每位老师都得到一张贺卡，记与贺卡编号相同的老师的个数为 $ \xi $，求随机变量 $ \xi $ 的分布列.

答案： 3.解：随机变量$\xi$的所有可能取值为0,1,2,4.将4张贺卡随机
送给4位老师，包含的基本事件总数为$A_{4}^{4}=24$.
当$\xi=0$时，贺卡编号与老师的编号全不相同.当1号贺卡送
给2号老师时，2号贺卡有3种送法，此时3,4号贺卡的送法
是唯一的.由于1号贺卡送法有3种，所以满足贺卡编号与老
师编号全不相同的送法有$3×3=9$(种)，
故$P(\xi=0)=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$。
当$\xi=1$时，仅有一位老师的编号与贺卡编号相同，从四位老
师中选出一位老师，其编号和贺卡编号相同，有$C_{4}^{1}$种选法，剩
下三位老师的编号和贺卡编号完全不相同的送法有2种，
故$P(\xi=1)=\frac{2C_{4}^{1}}{24}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$。
当$\xi=2$时，有两位老师的编号与贺卡编号相同，从四位老师
中选出两位老师，其编号与贺卡编号相同，有$C_{4}^{2}$种选法，
剩余两位老师的编号和贺卡编号全不相同的送法有1种，
故$P(\xi=2)=\frac{C_{4}^{2}}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$。
当$\xi=4$时，四位老师的编号与贺卡编号全相同，只有一种送
法，故$P(\xi=4)=\frac{1}{24}$。
所以随机变量$\xi$的分布列为
$\begin{matrix}\xi&0&1&2&4\\P&\frac{3}{8}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{24}\end{matrix}$

4. (2024·江苏邗江中学检测) 某小组共 10 人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动的次数为 1，2，3 的人数分别为 3，3，4. 现从这 10 人中选出 2 人作为该组代表参加座谈会.
(1) 记“选出 2 人参加义工活动的次数之和为 4”为事件 $ A $，求事件 $ A $ 发生的概率；
(2) 设 $ X $ 为选出 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $ X $ 的分布列.

答案： 4.解：
(1)选出2人参加义工活动的次数之和为4，则这2人分别
参加活动次数为“1和3”或“2和2”，次数为“1和3”共有
$C_{3}^{1}C_{1}^{1}$种选法，次数为“2和2”共有$C_{2}^{2}$种选法.
则$P(A)=\frac{C_{3}^{1}C_{1}^{1}+C_{2}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{1}{3}$，所以事件A发生的概率为$\frac{1}{3}$。
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,
$P(X=0)=\frac{C_{3}^{2}+C_{3}^{2}+C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{4}{15}$，
$P(X=1)=\frac{C_{3}^{1}C_{3}^{1}+C_{3}^{1}C_{1}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{7}{15}$，
$P(X=2)=\frac{C_{3}^{1}C_{3}^{0}}{C_{10}^{2}}=\frac{4}{15}$。
所以随机变量X的分布列为
$\begin{matrix}X&0&1&2\\P&\frac{4}{15}&\frac{7}{15}&\frac{4}{15}\end{matrix}$

5. (2025·河北唐山检测) 设随机变量 $ X $ 的分布列如下，则 $ P(|X - 2| = 1) $ = $ P(|X - 2| = 1) = P(X = 1) + P(X = 3) $(C)


A.$\frac{7}{12}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： 5.C 解析：由所有概率和为1，可得$\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+m+\frac{1}{3}=1$，所以
$m=\frac{1}{4}$.故$P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$.故选C.

6. (2025·广东珠海模拟) 设 $ X $ 是一个离散型随机变量，其分布列如下，则 $ P(|X| = 1) $ 等于(A)


A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 6.A 解析：由离散型随机变量分布列的性质可得$\frac{1}{3}+1-2q+3q^{2}-q+\frac{1}{3}=1$.即$(3q-1)(3q-2)=0$，
解得$q=\frac{1}{3}$或$q=\frac{2}{3}$.
当$q=\frac{2}{3}$时，$1-2q＜0$，不合题意，$\therefore q=\frac{1}{3}$.
$\therefore P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=1-P(X=0)$
$=\frac{2}{3}$。

7. (2025·江西南昌月考) 若离散型随机变量 $ X $ 的分布列为 $ P(X = k)=\frac{m· 2^k}{(2^{k + 1} - 1)(2^k - 1)}(1\leq k\leq 5, k\in \mathbf{N}) $，则 $ P(\frac{3}{2}\leq X\leq \frac{5}{2}) $ 的值为(A)

A.$\frac{6}{31}$
B.$\frac{61}{62}$
C.$\frac{25}{31}$
D.$\frac{62}{63}$

答案： 7.A 解析：因为离散型随机变量X的分布列为$P(X=k)=\frac{m·2^{k}}{(2^{k+1}-1)(2^{k}-1)}(1\leq k\leq5,k\in\mathbf{N})$，$\frac{m·2^{k}}{(2^{k+1}-1)(2^{k}-1)}=$
$m(\frac{1}{2^{k}-1}-\frac{1}{2^{k+1}-1})$，所以$m(\frac{1}{2^{1}-1}-\frac{1}{2^{2}-1}+\frac{1}{2^{2}-1}$
$+·s+\frac{1}{2^{5}-1}-\frac{1}{2^{6}-1})=1$，即$\frac{62}{63}m=1$，解得$m=\frac{63}{62}$，所
以$P(\frac{3}{2}\leq X\leq\frac{5}{2})=P(X=2)=\frac{63}{62}×\frac{4}{21}×\frac{1}{3}=\frac{6}{31}$。