《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例4 （2025·湖北武汉模拟）某学院为了调查本校学生某月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：$[0,5],(5,10],(10,15],·s,(25,30]$，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示。

(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
(2)现从这40名学生中任取2名，设$X$为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求$X$的分布列、均值$E(X)$及方差$D(X)$。

答案：
名师讲习 解：
(1)由题图可知，健康上网天数超过20天的学生人数是$40×(0.04+0.01)×5 = 10$。
(2)随机变量$X$的所有可能取值为0，1，2，且$X$服从超几何分布。
所以$P(X = 0)=\frac{C_{30}^{2}}{C_{40}^{2}}=\frac{29}{52},P(X = 1)=\frac{C_{10}^{1}C_{30}^{1}}{C_{40}^{2}}=\frac{5}{13}$，$P(X = 2)=\frac{C_{10}^{2}}{C_{40}^{2}}=\frac{3}{52}$。
所以$X$的分布列为

所以$X$的均值$E(X)=0 + 1×\frac{5}{13}+2×\frac{3}{52}=\frac{1}{2}$，
方差$D(X)=(0-\frac{1}{2})^{2}×\frac{29}{52}+(1-\frac{1}{2})^{2}×\frac{5}{13}+(2-\frac{1}{2})^{2}×\frac{3}{52}=\frac{19}{52}$。

例5 （2025·辽宁辽阳模拟）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布。若随机变量$\xi$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，从$\xi$的所有取值中随机抽取$m(m\in Z$，且$m\geq2)$个数据，记这$m$个数据的平均值为$X$，则随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{m})$。
(1)若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为$Y$，求$P(Y＜4960)$。
(2)若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在$(4900,5100)$内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克。小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由。
附：①若随机变量$\eta$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(\mu-\sigma\leq\eta\leq\mu+\sigma)\approx0.6827,P(\mu - 2\sigma\leq\eta\leq\mu + 2\sigma)\approx0.9545,P(\mu - 3\sigma\leq\eta\leq\mu + 3\sigma)\approx0.9973$；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生。

答案：
(1) 因为 $ Y $ 为25箱苹果的平均质量，所以 $ Y \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{m}\right) $，其中 $ \mu = 5000 $，$ \sigma = 100 $，$ m = 25 $。
则 $ \frac{\sigma^2}{m} = \frac{100^2}{25} = 400 = 20^2 $，故 $ Y \sim N(5000, 20^2) $。
因为 $ 4960 = 5000 - 2 × 20 = \mu - 2\sigma $，且 $ P(\mu - 2\sigma \leq Y \leq \mu + 2\sigma) \approx 0.9545 $，
所以 $ P(Y ＜ \mu - 2\sigma) \approx \frac{1 - 0.9545}{2} = 0.02275 $，即 $ P(Y ＜ 4960) \approx 0.02275 $。
(2) 由
(1)知 $ P(Y ＜ 4960) \approx 0.02275 $，而小法记录的25箱苹果平均质量为4958.77克，且 $ 4958.77 ＜ 4960 $。
因为 $ 0.02275 ＜ 0.05 $，该事件为小概率事件，小概率事件基本不会发生，故小法举报该超市。