《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例1 （2025·江苏徐州模拟）采购员要购买10个一包的电器元件。他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包。假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品。求：
(1)采购员拒绝购买的概率；
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包含有4个次品的概率。

答案： 答题卡：
(1)
设$B_1 =$“抽中的一包含有$4$个次品”，$B_2 =$“抽中的一包含有$1$个次品”，$A =$“采购员拒绝购买”。
已知$P(B_1)=\frac{3}{10}$，$P(B_2)=\frac{7}{10}$，
$P(A|B_1)=1 - \frac{C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}} = 1-\frac{20}{120}=\frac{5}{6}$，
$P(A|B_2)=1 - \frac{C_{9}^{3}}{C_{10}^{3}} = 1-\frac{84}{120}=\frac{3}{10}$。
由全概率公式可得：
$P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)=\frac{3}{10}×\frac{5}{6}+\frac{7}{10}×\frac{3}{10}=\frac{15 + 21}{60}=\frac{23}{50}$。
(2)
由贝叶斯公式可得：
$P(B_1|A)=\frac{P(AB_1)}{P(A)}=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{10}×\frac{5}{6}}{\frac{23}{50}}=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{23}{50}}=\frac{25}{46}$。
结论：
(1)采购员拒绝购买的概率为$\frac{23}{50}$；
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包含有$4$个次品的概率为$\frac{25}{46}$。