《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

2. (2025·湖北黄冈月考)证明：$ 1 + \frac{1}{2}C_{n}^{1} + \frac{1}{3}C_{n}^{2} + ·s + \frac{1}{n + 1}C_{n}^{n} = \frac{1}{n + 1}(C_{n + 1}^{1} + C_{n + 1}^{2} + ·s + C_{n + 1}^{n + 1}) $。
通项是 $ \frac{1}{m}C_{n}^{m - 1} $。

答案： 2.证明:因为$\frac{1}{m}$Cₙᵐ⁻¹ = $\frac{n!}{m·(m - 1)!·(n - m + 1)!}$ = $\frac{n!}{(n + 1)!}$·$\frac{n + 1}{n - m + 1}$ = $\frac{1}{n + 1}$Cₙ₊₁ᵐ，当m = 1,2,3,…,n + 1时，分别代入相加，得1 + $\frac{1}{2}$Cₙ₊₁² + $\frac{1}{3}$Cₙ₊₁³ + … + $\frac{1}{n + 1}$Cₙ₊₁ⁿ⁺¹ = $\frac{1}{n + 1}$(Cₙ₊₁¹ + Cₙ₊₁² + … + Cₙ₊₁ⁿ⁺¹)。故原命题得证。

3. (2025·吉林长春模拟)为了配合创建全国文明城市的活动，某校现从 4 名男教师和 5 名女教师中选取 3 人组成文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有(C)

A.140 种
B.84 种
C.70 种
D.35 种

答案： 3.C解析:方法一(直接法):可按选取男教师的人数分两类。第一类:从9名教师中选1名男教师和2名女教师，共有C₉¹C₅²种选法；第二类:从9名教师中选2名男教师和1名女教师，共有C₉²C₅¹种选法。根据分类加法计数原理得不同的选法种数为C₉¹C₅² + C₉²C₅¹ = 70。
方法二(间接法):从4名男教师和5名女教师中选取3人，共有C₉³种选法。若全为男教师，共有C₄³种选法；若全为女教师，共有C₅³种选法。所以若男女至少各有一人，则不同的选法种数为C₉³ - C₄³ - C₅³ = 70。故选C。

4. 某中学高三学习雷锋志愿小组共有 16 人，其中一班、二班、三班、四班各 4 人，现从中任选 3 人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且三班至多选 1 人，则不同选法的种数为可以有同班的。(B)

A.484
B.472
C.252
D.232

答案：
4.B解析:以是否选择三班的学生为标准分为两类，每个类别又按是否选自同一个班分成两类，如表所示。

所以不同选法的种数为264 + 208 = 472。故选B。

5. (2025·湖北武汉联考)某人决定投资 8 种股票和 4 种债券，若经纪人向他推荐 12 种股票和 7 种债券，则此人不同的投资方式的种数为(B)

A.$ A_{12}^{8} · A_{7}^{4} $
B.$ C_{12}^{8} · C_{7}^{4} $
C.$ A_{12}^{8} + A_{7}^{4} $
D.$ C_{12}^{8} + C_{7}^{4} $

答案： 5.B解析:完成这件事需分两步:第一步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，有C₁₂⁸种选法；第二步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，有C₇⁴种选法。根据分步乘法计数原理，此人有C₁₂⁸·C₇⁴种不同的投资方式。

6. (2025·湖南衡阳检测)某医院有内科医生 12 名，外科医生 8 名，现选派 5 名参加研讨会。
(1)若内科医生甲与外科医生乙必须参加，则共有多少种不同的选法？“含”的问题。
(2)甲、乙均不能参加，有多少种不同的选法？“不含”的问题。
解题通法
“含……”或“不含……”是组合应用的常见题型。其解决方法一般为直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特殊对象去掉再取出，分步计数。
必要时，还需对对象进行分类，对题目中的对象分类后，要弄清被取出的对象“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于某个特殊对象，被取出的对象中含不含这个特殊对象，这是解题的关键。
当用直接法分类较多时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略。

答案： 6.解:
(1)根据题意，内科医生甲与外科医生乙必须参加，则在剩下的18人中再选3人即可，有C₁₈³ = 816(种)不同的选法。
(2)甲、乙均不能参加，在剩下的18人中选5人即可，有C₁₈⁵ = 8568(种)不同的选法。

7. (2025·辽宁沈阳单元测试)某车间有 11 名工人，其中 5 名男工是钳工，4 名女工是车工，另外 2 名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工，4 名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？“多面手”问题，确定分类讨论标准为本题的关键。
归纳总结
“多面手”问题的分类依据：按只会一种本领被选的人数来分类，将“多面手”和只会一种本领的人放在一起。虽然也能按“多面手”入选的人数和从事的任务来分类，但情况比较多，相对繁琐。

答案： 7.解:方法一:设A，B代表2名老师傅。
A，B都不在内的选派方法有C₄³·C₄⁴ = 5(种)；
A，B都在内且当钳工的选派方法有C₂²C₄²C₃¹ = 10(种)；
A，B都在内且当车工的选派方法有C₂²C₄³C₃¹ = 30(种)；
A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有C₂¹A₃¹C₃¹ = 80(种)；
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有C₂¹C₄³C₃¹ = 20(种)；
A，B有一人在内且当车工的选派方法有C₂¹C₄²C₃¹ = 40(种)。
故一共有5 + 10 + 30 + 80 + 20 + 40 = 185(种)选派方法。
方法二:5名男钳工有4名被选上的方法有C₅⁴C₄¹ + C₅⁴C₃¹C₄² = 75(种)；
5名男钳工有3名被选上的方法有C₅³C₄² + C₅³A₃² = 100(种)；
5名男钳工有2名被选上的方法有C₅²C₃² = 10(种)。
故一共有75 + 100 + 10 = 185(种)选派方法。
方法三:4名女车工都被选上的方法有C₄⁴ + C₄³C₃¹ + C₄²C₃² = 35(种)；
4名女车工有3名被选上的方法有C₄³C₃¹ + C₄³A₃² = 120(种)；
4名女车工有2名被选上的方法有C₄²C₃² = 30(种)。
故一共有35 + 120 + 30 = 185(种)选派方法。