《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元，前三次索赔时保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立，用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率.
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中EX估计值的大小.(结论不要求证明)

答案：
(1)设一份保单索赔次数为$Y$，则
$P(Y\geq2) = P(Y = 2)+P(Y = 3)+P(Y = 4)$
$=\frac{60 + 30+10}{1000}=\frac{100}{1000}= 0.1$
所以估计一份保单索赔次数不少于$2$的概率为$0.1$。
(2)(ⅰ)$X$的可能取值为$0.4,-0.4,-1.2,-2,-2.6$，
$P(X = 0.4)=\frac{800}{1000}=\frac{4}{5}$，
$P(X=-0.4)=\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}$，
$P(X = -1.2)=\frac{60}{1000}=\frac{3}{50}$，
$P(X=-2)=\frac{30}{1000}=\frac{3}{100}$，
$P(X=-2.6)=\frac{10}{1000}=\frac{1}{100}$。
$E(X)=0.4×\frac{4}{5}-0.4×\frac{1}{10}-1.2×\frac{3}{50}-2×\frac{3}{100}-2.6×\frac{1}{100}$
$=0.32 - 0.04-0.072 - 0.06-0.026=0.122$。
(ⅱ)调整后的保单毛利润的数学期望估计值大于调整前的保单毛利润的数学期望估计值。

2. (2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确概率p.
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望.
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p₁，p₂，判断p₁与p₂的大小(结论不要求证明).

答案：
(1) $ p = \frac{80}{100} = 0.8 $.
(2) 设 $ A $ 为“从甲校抽取1人做对”，$ B $ 为“从乙校抽取1人做对”，则 $ P(A) = 0.8 $，$ P(\overline{A}) = 0.2 $，$ P(B) = 0.75 $，$ P(\overline{B}) = 0.25 $.
$ P(X=1) = P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B) = 0.8×0.25 + 0.2×0.75 = 0.35 $.
$ X $ 的分布列为：
$\begin{array}{c|ccc}X & 0 & 1 & 2 \\\hlineP & 0.05 & 0.35 & 0.6 \\\end{array}$
$ E(X) = 0×0.05 + 1×0.35 + 2×0.6 = 1.55 $.
(3) $ p₁ ＜ p₂ $.