《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (多选题)(2024·新高考全国卷Ⅰ)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值$\overline{x}=2.1$，样本方差$s^{2}=0.01$，已知该种植区以往的亩收入$X$服从正态分布$N(1.8,0.1^{2})$，假设推动出口后的亩收入$Y$服从正态分布$N(\overline{x},s^{2})$，则(若随机变量$Z$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，$P(Z＜\mu+\sigma)\approx0.8413$) ()

A.$P(X＞2)＞0.2$
B.$P(X＞2)＜0.5$
C.$P(Y＞2)＞0.5$
D.$P(Y＞2)＜0.8$

答案： BC

2. (2022·新高考全国卷Ⅱ)已知随机变量$X$服从正态分布$N(2,\sigma^{2})$，且$P(2＜X\leq2.5)=0.36$，则$P(X＞2.5)=$.

答案： 0.14

1. 设随机变量 $ X $ 服从正态分布 $ N(2,σ^{2}) $，若 $ P(X＞c)=a $，则 $ P(X≥4 - c)= $(B)

A.$ a $
B.$ 1 - a $
C.$ 2a $
D.$ 1 - 2a $

答案： 1.B 解析：因为X服从正态分布$N(2,\sigma^{2})$，所以正态曲线关于直线$x=2$对称，所以$P(X\geq4-c)=P(X\leq c)=1-P(X＞c)=1-a$。

2. (2025·安徽蚌埠模拟)已知随机变量 $ X $ 服从正态分布 $ N(10,2^{2}) $，则 $ D(3X - 1)= $(D)

A.$ 6 $
B.$ 11 $
C.$ 12 $
D.$ 36 $

答案： 2.D 解析：因为随机变量X服从正态分布$N(10,2^{2})$，所以$D(X)=2^{2}=4$，所以$D(3X-1)=3^{2}D(X)=9×4=36$。

3. (2025·海南海口模拟)已知随机变量 $ X $ 服从正态分布 $ N(2,σ^{2}) $，且 $ P(X＜4)=0.88 $，则 $ P(0＜X＜4)= $(B)

A.$ 0.88 $
B.$ 0.76 $
C.$ 0.24 $
D.$ 0.12 $

答案： 3.B 解析：因为随机变量X服从正态分布$N(2,\sigma^{2})$，所以其正态曲线的对称轴为直线$x=2$，又$P(X＜4)=0.88$，所以$P(X\geq4)=P(X\leq0)=1-0.88=0.12$，所以$P(0＜X＜4)=1-2P(X\geq4)=1-0.24=0.76$.故选B.

4. (2025·河北邯郸模拟)已知随机变量 $ ξ $ 服从正态分布 $ N(4,σ^{2}) $，若 $ P(2＜ξ＜6)=3p $，$ P(ξ≤6)=4p $，则 $ p= $(C)

A.$ 0.4 $
B.$ 0.3 $
C.$ 0.2 $
D.$ 0.1 $

答案： 4.C 解析：由已知得正态曲线关于直线$x=4$对称，
$\therefore P(\xi\geq6)=P(\xi\leq2)=4p-3p=p$，
$\therefore p+3p+p=1$，解得$p=0.2$.

5. (2025·江苏南京调研)一试验田某种作物一株生长果实实数 $ x $ 服从正态分布 $ N(90,σ^{2}) $，且 $ P(x＜70)=0.2 $，从试验田中随机抽取 $ 10 $ 株，果实个数在 $[90,110]$ 的株数记作随机变量 $ X $，且 $ X $ 服从二项分布，则 $ X $ 的方差为(B)

A.$ 3 $
B.$ 2.1 $
C.$ 0.3 $
D.$ 0.21 $

答案： 5.B 解析：$\because x\sim N(90,\sigma^{2})$，且$P(x＜70)=0.2$，
$\therefore P(x＞110)=0.2$，
$\therefore P(90\leq x\leq110)=0.5-0.2=0.3$，
$\therefore X\sim B(10,0.3)$，
$\therefore X$的方差为$10×0.3×(1-0.3)=2.1$。