《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

4. (2025·北京延庆模拟)袋中有 6 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为 $ X $。
(1) 求 $ X $ 的分布列；
(2) 求 $ E(X) $；
(3) 若摸出一个黑球得 10 分，摸出一个白球得 5 分，总分为 $ Y $ 分，求 $ P(Y ＞ 15) $ 的值。

答案： 4.解：
(1)由题意得，$X$的可能取值为$0,1,2$，且$X\sim H(8,2,3)$，
$P(X=0)=\frac{C_{8}^{0} C_{3}^{3} }{C_{5}^{3} } =\frac{5}{14} ,P(X=1)=\frac{C_{8}^{1} C_{3}^{2} }{C_{10}^{3} } =\frac{15}{28} $,
$P(X=2)=\frac{C_{8}^{2} C_{3}^{1} }{C_{10}^{3} } =\frac{3}{28} $,
所以$X$的分布列为
$\begin{array}{c|ccc}X & 0 & 1 & 2\\\hline P & \displaystyle\frac{5}{14} & \displaystyle\frac{15}{28} & \displaystyle\frac{3}{28} \\\end{array}$
(2)因为$X\sim H(8,2,3)$，所以$E(X)=\frac{3×2}{8} =\frac{3}{4} $
(3)由已知得$Y=10X+5×(3-X)=5X+15$.
因为$5X+15＞15$，所以$X＞0$，
所以$P(Y＞15)=P(X＞0)=1-P(X=0)=1-\frac{5}{14} =\frac{9}{14} $

某一批产品的合格率为 95%，那么在任意取出的 20 件产品中，最有可能有几件产品合格？

答案： 解：方法一：设在取出的$20$件产品中，合格产品有$X$件，则$X$服从二项分布，即$X\sim B(20,0.95)$，
于是恰好有$k$件产品合格的概率为$P(X=k)=C_{20}^{k} ×0.95^{k}×0.05^{20-k}(0\leq k\leq20且k\in N)$.
所以$\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)} =\frac{C_{20}^{k} ×0.95^{k}×0.05^{20-k}}{C_{20}^{k-1} ×0.95^{k-1}×0.05^{21-k}} =1+\frac{(20-k+1)×0.95}{k×0.05} =1+\frac{21×0.95-k}{k×0.05} =\frac{19.95-k}{k×0.05} (1\leq k\leq20且k\in N)$.
于是当$k＜19.95$时，$P(X=k-1)＜P(X=k)$;
当$k＞19.95$时，$P(X=k-1)＞P(X=k)$，
所以$\frac{P(X=20)}{P(X=19)} ＜1$.
由以上分析可知，在任意取出的$20$件产品中，合格品有$19$件的概率最大，即最有可能有$19$件产品合格.
方法二：合格产品件数$X\sim B(20,0.95)$.
因为$(n+1)p=21×0.95=19.95$，
所以$[(n+1)p]=[19.95]=19$.
所以任意取出的$20$件产品中，最有可能是$19$件产品合格.

1. (2021·天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局。已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 和 $\frac{1}{5}$，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$，3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为$\frac{20}{27}$。

答案： 1.$\frac{2}{3}$ $\frac{20}{27}$ 解析：由题意，得一次活动中，甲获胜的概率为$\frac{5}{6}× \frac{4}{5}=\frac{2}{3}$；
则3次活动中，甲至少获胜2次的概率为$C_{3}^{2}× (\frac{2}{3})^{2}× \frac{1}{3}+(\frac{2}{3})^{3}=\frac{20}{27}$.

2. 某商场为刺激消费，拟按以下的方案进行促销：顾客每消费 500 元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为 $\frac{1}{2}$，若中奖，商场返还顾客现金 100 元。某顾客现购买价值 2300 元的台式电脑一台，得到奖券 4 张。
(1) 设该顾客中奖的奖券张数为 $X$，求 $X$ 的分布列；
(2) 设该顾客购买台式电脑的实际支出为 $Y$ 元，用 $X$ 表示 $Y$，并求 $Y$ 的数学期望。

答案： 解：
(1)由于每张奖券的中奖结果是相互独立的，因此$X\sim B(4,\frac{1}{2})$.
$\therefore P(X=0)=C_{4}^{0}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{16}$，
$P(X=1)=C_{4}^{1}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{4}$，
$P(X=2)=C_{4}^{2}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{3}{8}$，
$P(X=3)=C_{4}^{3}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{4}$，
$P(X=4)=C_{4}^{4}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{16}$.
$\therefore X$的分布列为
$X$ 0 1 2 3 4
$P$ $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{16}$
(2)$\because X\sim B(4,\frac{1}{2})$,$\therefore E(X)=4× \frac{1}{2}=2$.
又由题意可得$Y=2300-100X$，
$\therefore E(Y)=E(2300-100X)=2300-100E(X)=2300-100×2=2100$.
即所求变量$Y$的数学期望为2100元.