《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例 1 - 2 下图是一条正态密度曲线, 试根据该图象写出其正态密度函数的解析式. 若随机变量 $X$ 服从该正态分布, 求出随机变量 $X$ 的均值和方差的估计值.

答案： [名师讲习] 解: 从给出的正态密度曲线可知, 该正态密度曲线关于直线 $x = 20$ 对称, 最大值是 $\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$,
所以 $\mu = 20,\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$, 所以 $\sigma = \sqrt{2}$.
所以该正态密度函数的解析式是 $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(x - 20)^2}{4}},x\in (-\infty,+\infty)$.
随机变量 $X$ 的均值的估计值是 20, 方差的估计值是 $(\sqrt{2})^2 = 2$.