《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1.(湖北卷)设X~N(μ1,
σ²),Y~N(μ2,σ²),
这两个正态分布密度
曲线如图所示，下列
结论中正确的是 由正态曲线,知|＜u2⇒
(C) PCY≥μ2)＜PCY≥u)(汪

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)意变量只有Y.
B.P(X02)≤P(X＜01)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥tt)

答案： 1.C解析:由正态分布密度曲线的性质,可知$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$的密度曲线分别关于直线$x = \mu_1$，$x = \mu_2$对称，因此结合题中所给图象可得$\mu_1 ＜ \mu_2$，所以$P(Y \geqslant \mu_2) ＜ P(Y \geqslant \mu_1)$，故A错误；又$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$的密度曲线较$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$的密度曲线“瘦高”，所以$0 ＜ \sigma_1 ＜ \sigma_2$，所以$P(X \leqslant \sigma_2) ＞ P(X \leqslant \sigma_1)$，故B错误；对任意正数$t$，$P(X \leqslant t) \geqslant P(Y \leqslant t)$，$P(X \geqslant t) \leqslant P(Y \geqslant t)$，故C正确，D错误.

2.(多选题)(2025.辽宁沈阳模拟)甲、乙两类水果的
质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μi,σ²),
N(μ2,σ²),其正态密度曲线如图所示,则下列说法
正确的是 (ABC)


A.甲类水果的平均质量μ1=0.4kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均
质量
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99

答案： 2.ABC解析:由图象可知甲曲线关于直线$x = 0.4$对称，乙曲线关于直线$x = 0.8$对称，所以$\mu_1 = 0.4$，$\mu_2 = 0.8$，故A、C正确；因为甲曲线比乙曲线更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；因为乙曲线的峰值为$1.99$，即$\frac{1}{\sigma_2 \sqrt{2 \pi}} = 1.99$，所以$\sigma_2 \neq 1.99$，故D错误.故选ABC.

3.(2025.河北保定检测)某市组织一次高三调研考
试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度
函数为f(x)=$\frac{1}{10√2π}$e(x−20800))²，则下列命题中不
正确的是由正态密度函数,知L=80,σ=10.(B)

A.这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的
人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的
人数相同国为x对称轴是x=80.
D.这次考试的数学成绩的标准差为10

答案： 3.B解析:由正态密度函数知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A、D正确.因为正态曲线关于直线$x = 80$对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数不相同，故C正确，B错误.

4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(X＜4)
=0.84,则P(X≤0)= (A)

A.0.16
B.0.32
C.0.68
D.0.84

答案：
4.A解析:由$X \sim N(2, \sigma^2)$，可知其正态曲线大致如图所示，对称轴为直线$x = 2$，则$P(X \leqslant 0) = P(X \geqslant 4) = 1 - P(X ＜ 4) = 1 - 0.84 = 0.16$.
　　　　　　　　

5.(2025.湖北黄冈模拟)已知随机变量X~N(5，
σ²),且P(3＜X＜7)=m,P(4＜X＜6)=n,则P(3＜
X＜6)的值为 (A)

A.$\frac{m+n}{2}$
B.$\frac{n−m}{2}$
C.$\frac{1−m}{2}$
D.$\frac{1−n}{2}$

答案： 5.A解析:因为随机变量$X \sim N(5, \sigma^2)$，$P(3 ＜ X ＜ 7) = m$，$P(4 ＜ X ＜ 6) = n$，
所以$P(3 ＜ X ＜ 6) = P(3 ＜ X ＜ 5) + P(5 ＜ X ＜ 6) = \frac{1}{2}P(3 ＜ X ＜ 7) + \frac{1}{2}P(4 ＜ X ＜ 6) = \frac{m + n}{2}$.

6.(多选题)(2025.山东聊城模拟)已知随机变量X
服从正态分布N(90,102)，则下列结论正确的是
(ABC)

A.P(80＜X＜90)≈0.34135丛=90,0=10,将所求概
B.P(X＞80)≈0.84135 率转化为三个特殊区
C.P(X＜110)≈0.97725
D.P(80＜X≤110)≈0.7786间的概率问题

答案： 6.ABC解析:因为随机变量$X$服从正态分布$N(90, 10^2)$，所以$P(80 ＜ X ＜ 90) = P(90 - 10 ＜ X ＜ 90) = \frac{1}{2}P(90 - 10 ＜ X ＜ 90 + 10) \approx \frac{1}{2} × 0.6827 = 0.34135$，所以A正确；
因为$P(X ＞ 80) = P(80 ＜ X ＜ 90) + P(X \geqslant 90) \approx 0.34135 + 0.5 = 0.84135$，所以B正确；
因为$P(X ＜ 110) = P(X \leqslant 90) + P(90 ＜ X ＜ 90 + 20) = P(X \leqslant 90) + \frac{1}{2}P(90 - 20 ＜ X ＜ 90 + 20) \approx 0.5 + \frac{1}{2} × 0.9545 = 0.97725$，所以C正确；
因为$P(80 ＜ X \leqslant 110) = P(80 ＜ X ＜ 90) + P(90 \leqslant X \leqslant 90 + 20) = P(80 ＜ X ＜ 90) + \frac{1}{2}P(90 - 20 \leqslant X \leqslant 90 + 20) \approx 0.34135 + \frac{1}{2} × 0.9545 = 0.8186$，所以D错误.

7.(2025.河北保定模拟)若随机变量X服从正态分
布N(0,1),有P(X≤1)=0.8413,则P(−1＜X≤0)
=0.3413.

答案： 7.0.3413解析:方法一:因为$P(X \leqslant 1) = 0.8413$，且$X \sim N(0, 1)$，所以$P(X ＞ 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$，所以$P(X \leqslant -1) = 0.1587$，所以$P(-1 ＜ X \leqslant 0) = 0.5 - 0.1587 = 0.3413$.
方法二:因为$P(0 ＜ X \leqslant 1) = P(X \leqslant 1) - 0.5 = 0.3413$，且$X \sim N(0, 1)$，所以$P(-1 ＜ X \leqslant 0) = P(0 ＜ X \leqslant 1) = 0.3413$.

8.(2025.河北邢台检测)某地区数学考试的成绩X
服从正态分布N(μ,σ²),其密度曲线如图所示，正
(x−μ)2
态密度函数为f(x)=$\frac{1}{√2π}$e 2²,x∈(−∞,
十8),则成绩X位于区间(86,94]的概率是0.0214.

答案： 8.0.0214解析:由正态曲线可知$\mu = 70$，$\sigma = 8$，$\therefore P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) = P(54 \leqslant X \leqslant 86) \approx 0.9545$，$P(\mu - 3\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3\sigma) = P(46 \leqslant X \leqslant 94) \approx 0.9973$，$\therefore P(86 ＜ X \leqslant 94) \approx \frac{1}{2} × (0.9973 - 0.9545) = 0.0214$.