《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

11. (2025·山东德州开学考试)为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈、摄影等 5 门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈课和摄影课安排在相邻两天的方案种数为(A)

A.48
B.36
C.24
D.12

答案： 11.A 解析：把舞蹈课和摄影课进行捆绑，有$A_2^2$种情况.
将舞蹈课和摄影课看作一个整体，和剩余的3门课程进行全排列，有$A_4^4$种情况.
故共有$A_2^2A_4^4 = 48$种方案.

12. (2025·江苏徐州模拟)土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型。现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究。要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则不同的排法共有(A)

A.480 种
B.240 种
C.384 种
D.1 440 种

答案： 12.A 解析：当圆形排在第一个时，因为方形、五角形相邻，所以捆绑在一起与其他图形全排列，且方形、五角形内部排列，有$A_5^5A_2^2 = 240$种不同的排法.
同理当圆形排在最后一个时，有$A_5^5A_2^2 = 240$种不同的排法.
综上，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有480种不同的排法.

13. (2025·湖南岳阳模拟)把 5 个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲、乙安排在不相邻的两天，乙、丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是(D)

A.96 种
B.60 种
C.48 种
D.36 种

答案： 13.D 解析：依题意，设这五个人分别为甲、乙、丙、丁、戊.
第一步，将乙、丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有$A_2^2 = 2$种情况；
第二步，将这个整体与丁、戊全排列，有$A_3^3 = 6$种安排方法；
第三步，排好后产生4个空位，因甲、乙不相邻，则只能从3个空中任选1个安排甲，有$A_3^1 = 3$种安排方法.
则由分步乘法计数原理，不同的方案共有$2×6×3 = 36$种.

14. 已知 A，B，C，D，E 5 名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列方法数。
(1)把 5 名同学排成一排且 A，B 不相邻；
(2)把 5 名同学排成一排且 A，B 都不与 C 相邻；
(3)把 5 名同学安排到排成一排的 6 个空位中的 5 个空位上，且 A，B 不相邻。

答案： 14.解：
(1)方法一：第一步，先排不受限制的同学C,D,E，其排列方法有$A_3^3$种.
第二步，由于已经排好的C,D,E间(包括两端)形成了4个空，把有限制条件(不相邻)的同学A,B安排到这4个空中，其排列方法有$A_4^2$种.
由分步乘法计数原理，满足条件的排列方法有$A_3^3A_4^2 = 72$种.
方法二：先不考虑A,B不相邻这个限制条件，把5名同学进行全排列，有$A_5^5$种排列方法，其中A,B相邻的排列方法有$A_2^2A_4^4$种，故满足条件的排列方法有$A_5^5 - A_2^2A_4^4 = 72$种.
(2)第一步，先排不受限制的同学D,E，其排列方法有$A_2^2$种.
第二步，由于已经排好的D,E之间(包括两端)形成了3个空，把有限制条件(不相邻)的同学A,C安排到这3个空中，其排列方法有$A_3^2$种.
第三步，由于已经排好的A,C,D,E之间(包括两端)形成了5个空，但由于B不能与C相邻，所以把B安排进已经排好的A,C,D,E中时只有3种选择，其排列方法有$A_3^1$种.
由分步乘法计数原理，符合条件的排列方法有$A_2^2A_3^2A_3^1 = 36$种.
(3)方法一(间接法)：先不考虑A,B不相邻这个限制条件，把5名同学安排到6个空位中的5个空位上，其排列方法有$A_6^5$种；把5名同学安排到6个空位中的5个空位上且A,B相邻的排列方法有$A_2^2A_5^4$种.所以满足条件的排列方法有$A_6^5 - A_2^2A_5^4 = 480$种.
方法二(直接法)：先排A,B,C,D,E，再考虑空位.
①当A,B不相邻时，由第
(1)问可知，其排列方法有72种，然后把剩余的1个空位安排到已经排好的排列中，有6种安排方法，根据分步乘法计数原理，其排列方法有$72×6 = 432$种；
②当A,B相邻时，其排列方法有$A_2^2A_4^4 = 48$种.把剩余的1个空位安排到已经排好的排列中，欲使A,B不相邻，则其安排方法只有1种，故其排列方法有$48×1 = 48$种.
根据分类加法计数原理，满足条件的排列方法共有$432 + 48 = 480$种.

15. (2025·浙江绍兴模拟)如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆 3 个，另一堆也是 3 个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是(C)


A.12
B.16
C.20
D.24

答案：
15.C 解析：如图所示，对集装箱进行编号，则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走，4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走，根据定序问题，用除法得到不同取法的种数为$\frac{A_6^6}{A_3^3A_3^3}=20$.

16. (2025·山东济南模拟)某节目中，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词。在声光舞蹈的配合下，百人齐声朗诵，别有韵味。若《沁园春·长沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有144种。(用数字作答)

答案： 16.144 解析：先安排除《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》以外的四首诗词，有$A_4^4$种方法，其中《蜀道难》排在《游子吟》前面有$\frac{A_4^4}{2}$种方法，而《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，有$A_4^2$种方法，所以后六场的排法有$\frac{A_4^4}{2}× A_4^2 = 144$种.

17. (2025·四川成都月考)7 人站一排，求满足下列站法的排列方法数。
(1)全体站成一排，甲必须在乙的前面（不一定相邻）；
(2)全体站成一排，甲、乙、丙三个人自左向右顺序不变（不一定相邻）。

答案： 17.解：
(1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故$\frac{A_7^7}{A_2^2}=2520$种不同的排法.
(2)方法一：先将甲、乙、丙三个人除外，七个位置中，其余的四个人进行排列有$A_7^4$种排法，然后将甲、乙、丙按规定顺序插入剩余的三个空中，因此共有$A_7^4 = 840$种不同的排法.
方法二：甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，则甲、乙、丙自左向右顺序不变的排法种数占全排列种数的$\frac{1}{A_3^3}$，故有$\frac{A_7^7}{A_3^3}=840$种不同的排法.