《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例6 （2025·陕西西安模拟）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标。现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为$\frac{2}{3}$，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立、互不影响的。
(1)设甲公司答对题数为随机变量$X$，求$X$的分布列、均值和方差；
(2)请从均值和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

答案：
(1) $X$的可能取值为1，2，3。
$P(X=1)=\frac{C_{4}^{1}C_{2}^{2}}{C_{6}^{3}}=\frac{4×1}{20}=\frac{1}{5}$，
$P(X=2)=\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{1}}{C_{6}^{3}}=\frac{6×2}{20}=\frac{3}{5}$，
$P(X=3)=\frac{C_{4}^{3}C_{2}^{0}}{C_{6}^{3}}=\frac{4×1}{20}=\frac{1}{5}$。
分布列为：
|$X$|1|2|3|
|----|----|----|----|
|$P$|$\frac{1}{5}$|$\frac{3}{5}$|$\frac{1}{5}$|
$E(X)=1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}=2$，
$D(X)=(1-2)^{2}×\frac{1}{5}+(2-2)^{2}×\frac{3}{5}+(3-2)^{2}×\frac{1}{5}=\frac{1}{5}+0+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$。
(2) 设乙公司答对题数为$Y$，则$Y\sim B(3,\frac{2}{3})$。
$E(Y)=3×\frac{2}{3}=2$，
$D(Y)=3×\frac{2}{3}×(1-\frac{2}{3})=\frac{2}{3}$。
因为$E(X)=E(Y)$，$D(X)=\frac{2}{5}＜\frac{2}{3}=D(Y)$，所以甲公司竞标成功的可能性更大。

例7 某商场某品牌的空调每周的销售量$\xi$是一个随机变量，分布列为$P(\xi = k)=\frac{1}{20},k = 11,12,·s,30$。而商场每周初的进货量为区间$[11,30]$中的某一整数，每周只进货一次，商场每销售一台空调可获利500元。若供大于求，则每台多余的空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每一台空调仅获利200元。商场周初进货量（含上周余量）为多少时才能使周平均利润最大？

答案： 设商场周初进货量为$x$台（$x\in[11,30]$且$x$为整数），周利润为随机变量$\eta$。
1. 利润函数$\eta$的表达式
当供大于求，即$\xi=11,12,·s,x-1$时，$\eta=600\xi - 100x$；
当供求相等，即$\xi=x$时，$\eta=500x$；
当供不应求，即$\xi=x+1,x+2,·s,30$时，$\eta=200\xi + 300x$。
2. 周平均利润$E(\eta)$的计算
因$P(\xi=k)=\frac{1}{20}(k=11,12,·s,30)$，则
$\begin{aligned}E(\eta)&=\frac{1}{20}\left[\sum_{\xi=11}^{x-1}(600\xi - 100x) + 500x + \sum_{\xi=x+1}^{30}(200\xi + 300x)\right]\\&=\frac{1}{20}\left[600\sum_{\xi=11}^{x-1}\xi - 100x(x - 11) + 500x + 200\sum_{\xi=x+1}^{30}\xi + 300x(30 - x)\right]\end{aligned}$
化简求和并整理得：$E(\eta)=-10x^2 + 510x + 3000$。
3. 求最大周平均利润对应的$x$
$E(\eta)$为关于$x$的二次函数，对称轴为$x=25.5$。因$x$为整数，故当$x=25$或$x=26$时，$E(\eta)$最大。
结论：商场周初进货量为25台或26台时，周平均利润最大。