《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

1. (2025·湖北荆门检测)计算：
(1)$C_{50}^{48}$；
(2)$C_{99}^{2}+C_{99}^{3}$；
(3)$C_{4}^{4}+C_{5}^{3}+C_{6}^{3}+·s +C_{10}^{3}$；
(4)$(C_{100}^{98}+C_{100}^{97})÷A_{101}^{3}$。

答案： 1.解：
(1)$C_{50}^{48}=C_{50}^{2}=\frac{50×49}{2×1}=1225$.
(2)$C_{99}^{2}+C_{99}^{3}=C_{10}^{3}=\frac{100×99×98}{3×2×1}=161700$.
(3)原式$=C_{4}^{4}+C_{5}^{4}+C_{6}^{4}+·s+C_{10}^{4}-C_{4}^{4}=C_{5}^{5}+C_{5}^{4}+C_{6}^{4}+·s+C_{10}^{4}-C_{4}^{4}=C_{6}^{5}+C_{6}^{4}+·s+C_{10}^{4}-C_{4}^{4}=·s=C_{11}^{5}-1=329$.
(4)原式$=(C_{100}^{100}+C_{100}^{3})÷ A_{101}^{3}=C_{101}^{3}÷ A_{101}^{3}=C_{101}^{3}÷(C_{101}^{3}·3!)$
$=\frac{1}{6}$.

2. 某班班会准备从含甲、乙的7名学生中任选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为(D)

A.720
B.520
C.360
D.600

答案： 2.D 解析：以是否选择甲、乙两人发言为标准分两类.第一类：
甲、乙仅选1人，再从其余5人中选3人并按序发言，有
$C_{2}^{1}C_{5}^{3}A_{4}^{4}$种发言顺序.第二类：甲、乙都选，再从其余5人中选
2人，并按序发言且甲、乙不相邻，有$C_{5}^{2}A_{2}^{2}A_{3}^{2}$种发言顺序.根
据分类加法计数原理知不同的发言顺序种数为$C_{2}^{1}C_{5}^{3}A_{4}^{4}+C_{5}^{2}A_{2}^{2}A_{3}^{2}=480 + 120=600$.故选D.

3. (2025·安徽宣城模拟)大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则。一考生从某大学所给的10个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有672种不同的填报专业志愿的方法(用数字作答)。

答案： 3.672 解析：当甲、乙都不选时，有$A_{5}^{3}=336$（种）；当甲、乙两个
专业选1个时，有$C_{2}^{1}C_{5}^{2}A_{3}^{3}=336$（种）.根据分类加法计数原
理，可得共有$336 + 336=672$（种）不同的填报专业志愿的方
法.故答案为672.

1. (1)不等式 $ C_{10}^{n - 3} \lt C_{10}^{n - 2} $ 的解集为{3,4,5,6,7}。
(2)解方程：$ C_{x + 2}^{x - 2} + C_{x + 2}^{x - 3} = \frac{1}{10}A_{x + 3}^{3} $。
学习笔记
本例(1)是一个含组合数的关于 $ n $ 的不等式，把问题转化为关于 $ n $ 的一元一次不等式后，易忽略 $ n $ 的取值范围而导致错误。解决此类问题时，要将 $ C_{n}^{m} $ 中的 $ m $，$ n $ 的取值范围与方程或不等式的解综合考虑，切忌盲目求解。本例(2)可先利用组合数的性质对原方程进行化简。

答案： $1.$　　
$(1){3,4,5,6,7} $解析$:$依题意$\begin{cases}0\leq n - 3\leq10,\\0\leq n - 2\leq10,\end{cases}$所以$3\leq n\leq12$且$n∈N*。$由$C₁₀ⁿ⁻³＜C₁₀ⁿ⁻²，$得$\frac{10!}{(n - 3)!×(13 - n)!}＜\frac{10!}{(n - 2)!×(12 - n)!}，$即$\frac{1}{13 - n}＜\frac{1}{n - 2}，$即$n - 2＜13 - n，$解得$3≤n＜7.5$且$n∈N*，$所以不等式的解集为${3,4,5,6,7}。$　　
$(2)$解$:$原方程可化为$Cₓ₊₃ˣ⁻² = \frac{1}{10}Aₓ₊₃³，$即$Cₓ₊₃⁵ = \frac{1}{10}Aₓ₊₃³。$　　
∴$\frac{(x + 3)!}{5!(x - 2)!} = \frac{(x + 3)!}{10· x!}，$　　
∴$\frac{1}{120(x - 2)!} = \frac{1}{10· x·(x - 1)·(x - 2)!}，$　　
化简得$x² - x - 12 = 0，$解得$x = 4$或$x = -3。$　　
经检验，$x = 4$是原方程的解。