《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

例 4 - 1
(2025·湖南邵阳模拟)有甲、乙、丙 3 台车床加工同一型号的零件,加工的次品率分别为 6%,5%,3%,加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙 3 台车床加工的零件数分别占总数的 30%,40%,30%.任取一个零件,若取到的零件是次品,则它是甲车床加工的概率为 ()
A.$\frac{21}{47}$
B.$\frac{20}{47}$
C.$\frac{18}{47}$
D.$\frac{3}{10}$

答案：

[名师讲习]记事件_A_1:取到的零件为甲车床加工的,事件_A_2:取到的零件为乙车床加工的,事件_A_3:取到的零件为丙车床加工的,事件 B:取到的零件是次品,

则_P(B|A_1) = $\frac{6}{100}$,_P(B|A_2) = $\frac{5}{100}$,_P(B|A_3) = $\frac{3}{100}$,

_P(A_1) = $\frac{3}{10}$,_P(A_2) = $\frac{4}{10}$,_P(A_3) = $\frac{3}{10}$,

由贝叶斯公式可得

_P(A_1|B) = $\frac{P(A_1B)}{P(B)}$ = $\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{\sum_{k = 1}^3 P(A_k)P(B|A_k)}$ = $\frac{\frac{3}{10} × \frac{6}{100}}{\frac{3}{10} × \frac{6}{100} + \frac{4}{10} × \frac{5}{100} + \frac{3}{10} × \frac{3}{100}}$ = $\frac{18}{47}$.

因此,若取到的零件是次品,则它是甲车床加工的概率为$\frac{18}{47}$.

[正确答案]C